130 V. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



la relation que nous venons de trouver se transforme ensuite 

 en celle-ci 



2 2 



V ( (2 r-l)2r(2 r + 1) \2r-2 ) - 



j (pour, = 2)1, 



< (pour g > 2) 0 > 



qui forme le fondement du calcul ultérieur. Ou plutôt, dans 

 le cas de q pair, cette dernière relation est déjà elle-même, 

 sans aucune nouvelle opération, le résultat final cherché. Pour 

 le reconnaître, il suffit de remarquer que les coefficients de 

 deux termes du premier membre placés symétriquement de 

 part et d'autre du milieu (c'est-à-dire de chaque couple de 



termes en r et en -| r) sont alors ou bien égaux ou bien 



opposés: en effet, l'échange réciproque de 2r et de q — 2r, 

 par lequel le facteur 



(2r~ l)2r(2r+ 1) 

 écrit sous la forme 



(2^-2) 



(g-l)l . 



(2 r + 1) ! (q — 2 r 4- 1) ! ' 



n'est évidemment pas altéré, donne pour le coefficient du terme 

 en B q+ 2r — i la valeur 



j _ , (4 r - q) (2q-2 r + 1) (q H- 2 r +1) /g-l\ 

 1 ;2 (2r — l)2r(2r+ 1) \2r — 2/' 



c'est-à-dire, précisément (— )f ~ 1 fois le coefficient de B% q — 2r-l 

 lui-même, Si donc, à raison de ce fait, on réunit les termes 

 deux à deux, il vient la formule plus concise: 



