POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 133 



dans cette expression, pour — — pair, il a été attribué à r 

 la limite supérieure ^ , parce que le terme immédiate- 

 ment suivant, indiqué par r = ?-tî , et qui dans ce cas 



est en même temps le terme du milieu de (<!'), s'annule de 

 lui-même, à cause de son facteur q — 4 r + 1 = 0. 



Lors de l'application numérique des formules (13) et (13') 

 il peut être commode de se rappeler, entre autres, les par- 

 ticularités suivantes : 1° que pour le premier terme, indiqué 



par r = 0, savoir B% q — i -+- (— )| ~~ 1 B q —\ dans (13) et 

 g— i 



Bzq—i -h ( — ) 2 Bq—2 dans (13'), le coefficient est simplement 

 2 # H- 1, puisqu'on a alors: 



i (g - 1) ' _ 



(2)- — 1) 2)-(2r+ 1) \2r — 2/ (2 r + 1) ! (q — 2 r + 1) i 

 = ^TT) 6t (1-4)=°' 



2° que pour un terme quelconque, indiqué par r, le facteur 

 2q — 2r + 1 est toujours la somme des deux facteurs qui le 

 précèdent, que ceux-ci soient q — 4 r et q -h 2 r H- 1 ou bien 

 q — 4 r + 1 et^ + 2r; 3° que, les formules (13) et (13') ayant 

 été obtenues exclusivement par addition ou soustraction de 

 relations à coefficients entiers, tous les coefficients numériques 

 des nombres de Bernoulli y doivent également être des entiers. 

 Au reste, l'application alternative des deux formules (13) 

 et (13'), précédée, pour le cas q = 1 non compris dans 

 ces formules, de l'application de la formule primitive dont 

 elles sont dérivées, donne le tableau suivant, où, pour chaque 

 valeur de q, les résultats du calcul des coefficients numériques 

 sont placés à la fin, entre crochets [ ]. 



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