POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 135 



L'avantage que présentent nos nouvelles relations, pour 

 déduire successivement les uns des autres les nombres 

 B l} B 3 , B 5 ,...B2q—h consiste d'abord en ce que le calcul 

 de B2q— 1 n'exige approximativement que la connaissance de 



-|- coefficients numériques, dont chacun dépend seulement, 



d'une manière assez simple, des coefficients binomiaux de la 

 puissance (q — l) ièrae ou des puissances (q — l) ième et (q — 2) ième ; 

 tandis que, par exemple, l'application de la relation récurrente 

 le plus fréquemment mentionnée pour les nombres de Bernoulli, 

 savoir la relation 



(voir, entre autres, mon Mémoire antérieur, Arch. nêerl, T. XVI, 

 p. 410, formule (4*)), qui contient par conséquent tous les 

 nombres B précédents, nécessite le calcul de q coefficients 

 binomiaux, et ceux-ci de la puissance beaucoup plus élevée 

 2 g + 1. Mais une simplification non moins importante me 

 paraît résulter de la circonstance particulière que, dans les 

 relations trouvées, les nombres de Bernoulli n'entrent pas 

 autrement que combinés deux à deux en une somme ou en 

 une différence. En effet, d'après un théorème qu'ont fait con- 

 naître presque simultanément von Staudt (A. L. Crelle, Journal 

 fui' die Mathematik, 21^ Band, 1840, p, 372—374) et Th. 

 Clausen (H. C. Schumacher, Astronomische Nachrichten, 17 er Band, 

 1840, p. 351 — 352) — cités tous les deux dans mon Mémoire 

 antérieur, p. 437 — 438, — le nombre bernoullien général Bz q — i 

 consiste, suivant que q est impair ou pair, en un nombre 



entier augmenté ou diminué de la fraction -i- et diminué ou 



augmenté de la somme de toutes les fractions qui ont l'unité 

 pour numérateur et pour dénominateurs les résultats de l'ad- 

 dition de l'unité aux diviseurs pairs de 2 q, en tant que ces 

 résultats constituent des nombres premiers. (C'est uniquement 



