LA THEORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 



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Dans la fig. A Q , où v a = v ô = v^, on a F(v (j ) = 0 et de 



plus, en vertu de (59), x z=z 0, Outre le point de plissement 

 (a), il y a donc en (<u) encore deux autres points de plissement, 

 arrivés à coïncidence. Ce sont les points de plissement dont 

 le v, dans la fig. A-, est situé entre v a et v ô , mais dont le x' 



(voir la note ( G ) de la page précédente) est imaginaire. Au point 

 ({*) (point d'osculation) sont donc confondus trois points de plis- 

 sement. Que les deux points de plissement imaginaires restent 

 aussi imaginaires dans la suite, c'est ce qui ressort de la fig. 

 A 7 . Dans cette figure, en effet, on a: F{vg) négatif, F(v$) 



négatif, F(v u ) positif, F(Sb) positif, F(y e ) négatif, F(b) négatif, 



d'où il ressort qu'ici également il existe entre v$ et v a deux 



points de plissement à v réel et à %' imaginaire. 



Dans la fig. jB 3 , on a: F(v^) nég., F(3b) nég., F(v,,) pos., 



F{v n ) pos., F(b) nég., ce qui s'accorde avec les points de 



plissement indiqués. 



Dans la fis;. B,, v = v = v, est une racine double de 



F(v), comme on s'en assure aisément par le calcul de F\v u ) 1 ) ; 



il en résulte que de chaque côté se trouve un point de plis- 

 sement double, (^,) et (fi 2 ). 



Dans la fig. B., on a: F(v^) nég., F(vJ nég., F(Sb) nég., 

 F(v ) nég., F{b) nég. 



i) Il est évident d'abord, à cause de = 0 et = v n = ^^^^ * > °l ue 

 dans la dérivée F'(v a ) de F(v^) n'entreront que les termes : yiv^ï^v^ipiv^) — 

 — M*mT*v *(v^ — 6)3(u^ — 36). En considérant ensuite que MRTv - 

 == (1 — x)a 1 et que de plus, en vertu de (52), (1 - z) « J = < 2(v u — 6)2, on 

 trouve sans peine: <p(v ) = (1 — x)a\ (v^ — 6)2 = MRTv (l (v u — 6)2 : 



2a t (v -b) 



£'(w H ) =3(4 - x )ai - 4a, - b) = ^ (v u - 36); yfy) = 



M 2 R 2 T2 



= (l_ x)ai( ^_ b ) 2= ^_L- V 4 5 d'où il suit: F(t^) = 0. 



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