D. BIERES S DE HA AN , INTEGRALES DEFINIES. 355 



i* n \&* sirfib~^ x -{- (1—p 2 ) cos**-*x] l A 2 Sln ' lx ' C0S ' X dx = 

 J 0 + l 



= (i — p 2 ) 1 (i — p 2 )- J 2 — — • • • ( 28 ) 



Mais ces quatre formules ont un grave inconvénient; celui de 

 comprendre au premier membre deux intégrales , dont l'une a un 

 A c au numérateur, l'autre un A c au dénominateur, les c crois- 

 sant dans les deux cas avec la valeur de b. Il faut tâcher, 

 de s'en défaire; et pour cela nous pouvons différentier (25) sous 

 le signe d'intégration par rapport à p, ou plutôt par rapport 

 à — p 2 : différentiation permise ici, puisqu'il ne peut y avoir 

 aucun cas de discontinuité. Après quelques réductions il vient 



f [(' "S A44 -("-é A "-( 6+ l) (, - p2)4+ 



+ \b+ l (} - P 2 )| (1 - P*)* -1 A*] l A 2 = 

 = (l_p»)»-l ^ + lj(l-p»+ 



+ [!'' + § (i - p 2 ) ! « (i - p 2 ) + i] a'] - 



— ft n dx (A2*-3 _ A3 * - 1 ] (f) 



J 0 



Maintenant, à l'aide de (25), on peut chasser le terme A 2 de 

 l'intégrale au premier membre : ensuite , en changeant b en b -f 1 

 dans (25), encore le terme à puissance de (1 — p 2 ). De la sorte 

 on obtient dans cette intégrale des termes A 4 6 , A 4 b + 2 , A 4 5 + 4 , 

 conformément à ce qu'on désirait. Au second membre on a les 



intégrales f^-J^ fK, ^ / fi*À8»--*<faet |**A**--I<fc; 

 mais comme on a f 2 ^ A 2 b — l dx =(1 — p 2 )£ h n _J^_ — ^ _ ^ 



J O » 0 A"' ^ ^ 



— en vertu d'un théorème comiu , et qui peut se déduire de (25) 

 en y prenant b négatif et multipliant ensuite par (1 — p 2 ) 1 *, — 

 on peut réduire ce second membre à une forme plus simple. On 

 trouve enfin 



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