D. BIERENS DE HAAN , INTEGRALES DEFINIES. 357 



A cet effet il faut différentiel' de nouveau (31) par rapport à 

 — p 2 : ce qui nous donne 



fi" i A , *L± dx = 1 f- |(2 - p 2 ) + 



Jo A- (1 — p 2 ) p 2 L 



+1(1 -p 2 ) /(l-p 2 )| F'(p)+ (2+1 /(1-p 2 )) E'(p)],(32) 



donc, après l'avoir ajoutée p 2 fois à (31) , 



f"l ^=j~-i [-(2-p 2 )F'(p)+| 2+^(l_p 2 ) ) E»],(33) 



3. Pour obtenir une relation entre des intégrales analogues à 

 facteur sïw x. cos c x, on trouve, par la substitution précédente 

 tang x. tang y. V 1 — p 3 ~l, le nouveau théorème 



y f (sm x, cos x, 1 — p 2 sm 2 x) — = 

 i\ n » (cos x sinon. V 1 — p 1 — p 2 \ dx n . 



=r 0 f \— ' — â — '-a> ) a (/ ° 



Supposons-y f (w, y, z) = w c y a z h Iz, alors il vient 



fèn sin a x. cos e x. A«H~ e + êb -f. 8 { n c Xm cos a x. (1 — p 2 )H^ 



/ a 2 <** = a- p 2 ) 6 1 * < / (i r> 2 ). f* n - fT'<T h L d *> (34 > 



où pour le premier membre on peut écrire 



Z^ 71 a?. cos e x. A 2 ^ — 1 / A 2 d# + (1 — p 2 ) b + \ c 



J 0 



2 l A 1 dx (34* 



0 A*-+« + 2 * + 1 



Distinguons-y trois cas: 



a) a et c sont tous deux pairs: ces intégrales se déduiront 

 aisément par voie de soustraction des formules dont on a traité 

 au N°. 2. 



b) a et c sont tous deux impairs: chaque intégrale contient 

 en facteur sin x. cos x dx — J d. sin 2 x : donc en prenant 

 sin 2 x — y, on les rend algébriques. 



c) a et c sont l'un pair, l'autre impair. La seconde inté- 



