358 D. BIERENS DE HAA>" , INTEGRALES DEFIMES 



grale de (34*) a pour dénominateur une puissance paire de A, 

 donc une puissance entière de (1 — p 2 sin 2 x): elle appartient 

 à une autre classe d'intégrales , beaucoup plus simple. La première 

 intégrale se prête de même à une simplification notable. Suppo- 

 sons-y p. ex. a z=z 2 a' } c = 2 c' H- 1 ; on a 



■ 



«' n 



sin a x. cos° x. A 2 * — 1 / A 2 dx = 



* 0 



— (- silfi a x. cos 2 *' x. A 2 & — 1 / A 2 , cos x dx, (34*) 



qui par la substitution de sin x = y devient beaucoup plus simple. 



Observons encore que la supposition de x = — - — y 



2 



nous fournit des intégrales analogues, où le A se trouve rem- 



i , „. ;> " ■ ■■, Ç\n , , , sin a x.cos c x , \ . , 



place par v: car 1 intégrale /- /A 2 dx devient 



J 0 A 2 ^ + 1 



sin c x. cos a x 

 ^27+7 



4. Les deux systèmes d'intégrales, dont on vient d'esquisser 

 rapidement l'évaluation, donnent lieu aux intégrales (III) et (I) 

 au moyen d'une méthode d'intégration partielle, comme on l'a 

 remarqué au commencement. Elle donne, en partant des inté- 

 grales (IV), 



fènsin* — 1 x , * fin . 



I - . dx = — I - x sin a — z x. cos x. 



i 0 A 2 *-i 2(1— p 2 )b-ï J 0 



±a — 2b 2 b — 1 i , _ 



\ Ci X — 



, , , Ç\^i , , sin? x. cos" x . 

 de s -lors J- l v _ . . , — dx. 



' 0 



f A 2 6-l A 2 * + M 2 (1 — p 2 ) *-i 



/•jLît dx 

 — j 2 a? cos x. [(a — 1) sin a ~ 2 x — (a — 2 b) p-- sin a x] — — — - ; 



J 0 A 2 ° + 1 



d'où respectivement 



C\-r SÏ?l a — 2 X. COS X ^ 1 n 



il 00 a 2 ^+i cx ~~ 2 6—i l_2 (i — /> 2 ) r-^r ' 



K 1 i 0 A^-l ] 0 A^~l J V ; 



