D. BIERENS DE HAAN , INTEGRALES DEFINIES. 



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fèn siîla X. COS X . 1 |"_ n 



, 4N sin a ~ 2 x. cos x . . f^sin a ~ l x . ~| , D „. 



+ (« — 1) | 2 x dx H- p — - — — dx I .(36) 



Jo A* Jo A^~ 2 J 



La dernière intégrale convient encore pour un b négatif; la pre- 

 mière nous fournit dans ce même cas 



ft n x. sin« — lx. cosx. A 2 * + 1 dx = 1 — [—(l—p*)6+} 



J 0 a H- 2 6 L 2 1 7 ; 



+(264-1) f^xsint-Zx. cosx.A% 6 - l dx— j^ f kn*-*x.A**+* ctej .(37) 



Ces trois formules mènent au but: car les intégrales (35) et (37) 

 diminuent l'exposant de A, et l'intégrale (36) en fait ensuite autant 

 pour celui de sin x. Maintenant , considérons les intégrales finales. 

 Pour a impair, l'intégrale finale se déduit de (36) pour a = 1 



sin x, cos x ^ 1 |~ n 



J 0% X A* X ~~ {b — 2)p 2 L 2 (1 — p 2 )l^ 



<38) 



tandis que la dernière intégrale du second membre se déduit par 

 la formule (1) pour a = 1 : donc les intégrales (35) et (37) 

 peuvent toujours être évaluées. 



Pour a pair il n'en est plus ainsi: car alors l'intégrale finale 

 se déduit de (36) par la supposition a = 2, ce qui donne 



sin 2 x. cos x ^ 1 I" n 



i 0 X ' Ab ' X (3 — b)p>. L 2(1 — p*yj-i + 

 f±n cos x j fin sin x ~| /on . 



+ j- ^4*J, (39) 



et Ton se trouve réduit à une autre transcendante plus simple , 

 qu'il semble impossible de déterminer. Il y a exception toutefois 

 pour le cas de b — 3 : la multiplication par (3 — b) p 2 fait 

 évanouir le premier membre de (39), et il reste 



J 0 



cos % i _ n 1 1 H- p 



A 3 2V1—P 2 2/? 1 — p 



Quand dans (35) on prend de même a = 2, il vient 



