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D. BIERENS DE HAAN , INTEGRALES DEFINIES. 



(où le terme s'annule par les facteurs x et sin 2 a — 1 x pour 

 x z=z 0 , et par le facteur cos 2 c — 1 x pour x z= — j ; mais celle-ci 



ne m'a point permis de trouver une formule de réduction, c'est- 

 à-dire d'obtenir un système d'intégrales finales indépendantes, 

 qui se soumettent à une évaluation. 



Tout ce qui précède donne lieu aux conclusions suivantes. 



Les intégrales finales (III) peuvent toujours se déduire des inté- 

 grales (IV) lorsque celles-ci se déterminent à l'aide de fonctions ellip- 

 tiques, et jamais au contraire, lorsque les dernières se réduisent 

 à des intégrales algébriques. Dans les deux autres cas, que les 



1 -+- p 



intégrales (IV) s'expriment par un / ' ou par un Arcsin p, 



I — P 



les intégrales (III) ne peuvent être évaluées que pour b > 0: 

 tandis qu'il semble en résulter que les intégrales 



fl™ sin x fi-n cos x , m 



| 2 x dx et I 2 x dx (/) 



Jo A J 0 A 



constituent des transcendantes d'autre espèce. 



5. Quant aux intégrales analogues, qui contiennent un v = 

 -= V~\ — p 2 cos 2 x, elles donnent lieu à une déduction sem- 

 blable, et, à des exceptions près, de même nature. 



En premier lieu on a , par la substitution de — — y =r x, 



2 



fèn cos a ~ l x , Cl" sin a 



l A2*-l dX ~ l 



fè" • o ra — 2b (2 6 — 1) (1 — P 2 )!^ _ 



— / 2 x sm a ~ 2 x. cos x. I — - + — '— I dx = 



= — f* 71 x sin « — % x. cos x. [(a — 1) (1 — p 2 ) + 

 2 J o 



2b — l 2 



2b) p 2 sin* c£\ 



A 2b + 1> 



d'où l'on déduit les deux formules 



