D. BIERENS DE HAAN , INTEGRALES DEFINIES. 



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In , n sin x. cos « + 1 x 

 2 x l A- -— dx =z 



A2ô + i (« — 2 '6 -h 1) 

 — a (1 — »M l 2 a? / A 2 dx + 



+ 1 A% ^T=i dx - 2 P' J; x dx \ m 



Les deux dernières sont des formules de réduction, où l'expo- 

 sant de sin x ou de cos x est chaque fois diminué de deux 

 unités. Pour un a pair, elles ont pour intégrale finale la formule 

 (62), qui se déduirait aussi tant de (63) que de (64) en y sup- 

 posant a — 0. Les deux dernières intégrales que l'on rencontre 

 au second membre de ces trois formules, ne sont autres que les 

 intégrales (II) et (III) dont on a traité précédemment : dès-lors les 

 intégrales dont il s'agit ici tombent sous les mêmes cas d'ex- 

 ception que celles qu'on a discutées au numéro 4, sauf dans la 

 supposition de a pair. Il va sans dire que l'on peut déduire de 

 ces intégrales plusieurs autres de la forme sin a x. cos c x, où 

 l'un des deux nombres a ou c est impair; et cela seulement par 

 voie d'addition et de soustraction. 



7. Passons aux intégrales analogues, qui contiennent un v au 

 dénominateur et en même temps sous le signe logarithmique. A 

 cet effet, on a par notre méthode d'intégration partielle 



Çht i a 9 dx fin , „ dx , fi-jt sin x. cos x 

 \ L l A^ — — I i V =—p- \- x 



[2 — (2 b — 1) / v' 2 ] dx, 



l A 2 25*£ dx = ft« l - W 



«/ 0 



2 C0S a X 



dx 



\ n sin x. cos a — 1 x 



2b + 1 



[2 p 2 co,v- a? — a (1 — cos' 1 x) l A 2 ' 



(2 b — 1) />- C052 x. I A 2 ] cfo, 

 #7T , cos a x , rJrTr . cos a x 



ftn , a COS" X , Ç -k-ji j 



l 1 l Aî dx = I 2 / v : 



v 2i— 1 



