46 D. J. KORTEWEG ET F. A. H. SCHREINEMAKERS. 



5-.-(r-.)j + . ( r-,)|. 



Si nous voulons que ce plan tangent passe par un point P[p,q) du 

 plan XY , nous devons poser 



^z ^z 



En substituant dans cette équation les valeurs de 0, — et — tirées de 



do? oy 



(1) , nous obtenons: 



faiP + <?aî> + [Cif + 2c s j)jr + (3^jo + d 2 q — c 1 )x' 1 + 

 + («4^ + 2c h$ — c 2 )^ + + 3rf 4 j — c 3 )y 2 + 

 + (4^ + — 2^ )x* + (3^ + 2^ — 2d 2 ) afy + 

 + i%e t p + 84? - + (e 4 p + ^q-M.W + . . . = 0. (2) 



La formule (2) est donc l'équation de la courbe de contact d'un cone 

 touchant la surface et ayant le point P(p, q) pour sommet. 

 Nous distinguerons trois cas : 

 I. 0 n'est pas un point parabolique. 

 II. 0 est un point parabolique. 

 III. 0 est un point d'osculation. 



I. Le point 0 n'est pas un point parabolique. 



Puisque 0 est un point elliptique ou hyperbolique, nous avons 



c l c 2 — \ c * 1 <J 0° Prenons la ligne OP pour axe des x, de sorte que 



q — 0. Deux cas peuvent se présenter, suivant que OP est une asymp- 

 tote de l'indicatrice, ou non. 



Ia. La ligne OP n'est pas une asymptote de V indicatrice . 



Prenons la ligne OP comme axe des x et le diamètre conjugué de l'in- 

 dicatrice comme axe des y; donc q — 0 et c 2 = 0. Il résulte alors de 



(2) que: 



2c lP x + (Sdip — cjx 2 + 2d 2 pxy + (d,p — c 3 )y 2 + . . . = 0. (3) 



La courbe de contact touche donc Taxe des y au point O. Comme 

 l'axe des x (ligne OP) et Taxe des y sont des diamètres conjugués de 



