COURBES DE CONTACT DE SURFACES AVEC DES CONES. 55 



Afin d'examiner si la courbe de contact peut présenter encore d'autres 

 noeuds ou points isolés (en des points non coniques de la surface), nous 

 allons faire coïncider Taxe des // avec OP. Ceci est évidemment toujours 

 possible , et nous avons alors p = 0. 



Il résulte alors de (2) que la condition pour qu'il y ait un point double 

 est c 2 q = 0 et %c 3 q = 0. 



Nous trouvons ainsi 



c 2 = 0, o 3 = 0 et par conséquent aussi c 1 c z — c 2 2 = 0. 



Or ceci est précisément la condition pour que le cas IIb se produise. 

 Nous ne rencontrons donc les noeuds et les points isolés que dans le 

 cas IIb, sauf évidemment aux points d'osculation, qui peuvent être con- 

 sidérés comme un cas particulier, où de plus c x = 0. 



Nous pouvons donc dire: 



„Des noeuds et des points isolés de la courbe de contact sont tou- 

 jours situés sur la ligne spinodale.' 1 



Il n'y aurait d'exception que si le point P se trouvait sur la surface 

 elle-même; car alors il y aurait toujours en cet endroit un point isolé 

 ou un noeud mais nous laissons cela de côté. 



IIbx. Le point O est un point de plissement. 



Nous prenons OP comme axe des y (fig. 10), de sorte que, outre 

 p = 0, c 2 = 0 et c 3 = 0 nous avons encore d k = 0 1 ). 



Il résulte maintenant de (19) que le point de plissement est un noeud 

 point double de la courbe de contact et en même temps que la ligne 

 OP elle-même est une des tangentes. Afin d'examiner cette courbe de 

 contact de plus près nous allons, après avoir posé p=Q t c 2 = 0, 

 <? 3 = 0 et d k = 0, mettre (2) sous la forme: 



Ax 2 + Bxij + 6V + Bx 2 y + Exf + Ff + . . . = 0. (20) 



Pour que cette équation soit satisfaite par 



x = kf, 



l ) D. J. EbRTEWEG, ÏOC. cit., p. 61. 



