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d'approximation pour la circonférence du cercle, de la forme indiquée 

 ci-dessus. La première méthode , que nous examinerons dans la première 

 partie de ce travail , est la plus systématique. Elle se base sur la relation 

 suivante entre les périmètres des polygones inscrits à n , et \u côtés: 



[Pïn + pn)]hn 2 = %p2nK 



une relation que Ton trouve déjà chez Gregory, mais sous une forme 

 un peu différente. Ce qu'il y a de plus important dans cette formule, 

 c'est qu'elle est linéaire en p H , ce qui permet d'éliminer aisément p n de 

 l'expression approximative , qui de cette façon ne contient plus que 

 Pin et p2n- On trouve notamment: 



\p-2nS \ P'm 



'P2n\ , • 



— ) et voir 



on peut donc comparer facilement p-? n ff~~) avec P'±» f( — — 



quelle est la modification que subit l'expression approximative, lors- 

 qu'on remplace n par %n. On peut ainsi déduire de l'augmentation (ou 

 diminution) de l'expr. par remplacement de n par 2u, que cette expr. 

 appr. est plus petite (ou plus grande) que la circonférence du cercle, 

 et fournit donc une limite inférieure (ou supérieure) pour cette circon- 

 férence. De plus, par la grandeur cle l'augmentation (ou diminution) 

 on peut faire une estimation de la grandeur de l'erreur (différence entre 

 l'expr. appr. et la circonférence du cercle) et en particulier déterminer 

 Y ordre de l'expr. appr., en entendant par là l'exposant de la puissance 

 àe pm — Pn par laquelle il faut diviser l'erreur, pour qu'en passant à 

 la limite n — qo le rapport prenne une valeur limite finie et différente 

 de 0. Il est clair que la précision de l'expr. appr. pour de grandes 

 valeurs de n est surtout régie par cet ordre. 



De la formule trouvée ci-dessus, qui exprime P^fÇ^^) au mo y en 

 de p' in et p 2n , on peut encore déduire que, si /est une fonction algé- 

 brique, p2 n f( -— ) et p' W fC ) ne peuvent pas être égaux l'un à 



\p2nS \p'mS 



l'autre pour toute valeur de n et ne peuvent donc pas davantage être 

 égaux à la circonférence du cercle, pour toute valeur de n\ ce qui 

 signifie que cette circonférence ne saurait s'exprimer algébriquement en 



