CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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fonction de p n et p^ a . A ce propos les considérations de Gregory sur 

 l'impossibilité de la quadrature du cercle et la critique de Huygens à 

 ce sujet seront soumises à un examen approfondi (voir § 0, n os . 29 — 31). 



Les formules les mieux appropriées à l'approximation du nombre tt 

 sont évidemment celles où f est une fonction rationnelle: aussi nous 

 occuperons-nous presque exclusivement dans ce travail d'expressions 

 approximatives rationnelles. Nous n'examinerons pas seulement com- 

 ment une expr. appr. donnée peut être analysée au point de vue de 

 l'ordre., de la grandeur de l'erreur et du signe de l'erreur-, mais nous 

 verrons aussi comment on peut arriver à des expr. appr. qui unissent 

 la précision à la simplicité, et nous trouverons ainsi des expr. appr. 

 qui ne sauraient être remplacées par d'autres plus précises, sans devenir 

 notablement plus compliquées; c'est ce que nous appellerons des expr. 

 appr. oscillantes. Dans cette recherche une certaine forme de fraction con- 

 tinue, qui permet de comparer facilement entr' elles diverses expr. appr., 

 et en même temps se prête très bien au calcul de la valeur numérique 

 de l'expr. appr., jouera un grand rôle. La nature de cette forme de frac- 

 tion continue peut se déduire en quelque sorte des exemples qui suivront. 



Il y a certaines questions, qui se rattachent à cette forme de fraction 

 continue, que je n'ai pas pu résoudre, de sorte que j'ai dû me borner à 

 poser ces questions (voir § 18, n" s . 88 — -91). Ces questions sont intime- 

 ment liées à la plus importante qu'on puisse se poser à ce sujet ,, notam- 

 ment celle de savoir s'il est possible d'étendre cette forme de fraction 

 continue à une fraction continue infinie, donnant une valeur rigoureu- 

 sement exacte de la circonférence de cercle, et de trouver une expres- 

 sion générale pour les dénominateurs de cette fraction continue. 



Au sujet des résultats obtenus je mentionnerai les plus précis que 

 nous avons calculés (voir § 20), mais qui pourraient être remplacés par 

 de plus précis encore, au moyen de calculs, assez longs il est vrai, à 

 effectuer suivant la méthode indiquée. 



La circonférence de cercle est plus grande que 



1 fA NI 14 {P2n—Pn) 2 



3(4^2»+ 3^) 



et la différence {le rayon du cercle étant pris pour unité) est a peu près 

 égale a 



0,0002384 n~ x \ 



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