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F. SCHUH. 



qu'on ne considère que des cordes sous-tendues par des arcs qui ne dépas- 

 sent pas la circonférence. 



§ 2 . Relation de Gregory entre p n , p2 n et p^. 



5. Première déduction de la formule. Entre les périmètres p n ,P2n 

 et pbn des polygones réguliers inscrits à n , 2n et 4<n côt es il existe une 

 relation importante, que nous nous proposons de déduire maintenant. 

 Cette relation est homogène au point de vue des trois périmètres et est 

 donc indépendante de cette circonstance , que le rayon du cercle a été 

 posé égal à 1. Pour mieux montrer cela dans la déduction nous repré- 

 senterons le rayon par r. 



Soient dans la figure ci-contre AB = a^ n 

 et AC = a 2n . La perpendiculaire AD abais- 

 sée de A sur MC est donc \ a n . Si E est le 

 milieu de AC on a 



AC . ME = AD . M C , 



car chacun des produits est égal au double du 

 INC. Cette éqi 



a-in {r — BE) = \ c, n r, 



triangle^ M G. Cette équation peut s'écrire: 



ou bien, comme BE 



AB 2 

 ï&r 



Û4n 



~Yr 



a 2n {r — 

 r 2 (U 2a - 



= $ a n r, 



a-2 n Ciiin 



(4) 



D'autre part la relation AD 2 = AC 2 — CD" 1 , combinée avec CD = 

 AC 1 



— — , donne la formule bien connue : 



a n 2 = 4<a 2n ' 



a>2n 

 „1 > 



OU 



r 2 (4«2n* — Un) = CL% 



(5) 



En éliminant r entre (4) et (5) on obtient une équation, qui est homo- 

 gène par rapport à a n> a 2n et a/ m . Cette élimination, que l'on effectue 



