CIRCONFERENCE DU CERCLE. 11 



En exprimant dans F équation {3)p n et p 2n en périmètres de polygones 

 circonscrits à l'aide de l'équation (11), on arrive après quelques réduc- 

 tions à la relation suivante entre P n , P 2n et Pi m : 



P4n 2 ( P-2n — Pn ) = 4P* P 2n ( P 4 n ~ P 2 «). (12) 



Il est évident qu'à l'aide des équations (2) on peut facilement trans- 

 former toutes les formules en relations entre aires. 



9. La formule chez Huygens. L'équation (7) ne se rencontre qu'une 

 seule fois chez Huygens et encore incidemment, notamment dans la 

 démonstration de son Theor. XI, Prop. XIV, où Ton trouve la propor- 

 tion suivante (Œuvres complètes de Huygens, t. XII, p. 155, 1. 7) : 



{a n — Aon) • À% n = a n \ A n . < (13) 



Réduite à des périmètres cette proportion s'écrit: 



(2/>n— hn) ' T 2n =p a :P„, 



ce qui est l'équation (10). 



Huygens démontre la proportion (13) comme suit (1. c. p. 155, 

 1. 7—12): 



ï a n : A 2a = (i a n y : a 2n 2 = AB % : AC 2 = {MB + r) : 2f 



(voir la fig. 1, p. 8), d'où: 



[a n — A 2n ) : A 2n = MB : r = a n : A n . 



Comme Huygens ne fait plus mention nulle part de cette propriété, 

 alors qu'il aurait pu cependant en tirer avantageusement parti ] ), il 

 semble que son importance lui ait échappé. 



10. Manières dont Gregory formule le théorème. Pour autant 

 que j'ai pu m'en assurer, la propriété a été formulée pour la première fois 

 comme théorème, et notamment sous deux formes, par le mathématicien 

 anglais J. Gregory, un jeune contemporain de Huygens, dans son écrit: 

 „Vera eirculi et hyperbolae quadratura" (ajouté aux Opéra varia de 



') Par exemple pour transformer à l'aide de (9) la limite supérieure 



g(2P 2n + P n ) = - ~ \ —de la circonférence du cercle(Theor.YIII,Prop.YIII) 



.S ' p n 



en -(2P r + », \ = P2n ^ 6 p 2n + Pn) dont i' erreur est 16 fois plus faible. 

 Voir § 11, n°. 64. 



