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F. SCIIUH. 



Huygens, pp. 407—462). La propriété s'y trouve formulée pour les 

 aires des polygones réguliers inscrits et circonscrits (à n et in côtés), ou 

 plutôt pour les portions découpées dans ces aires par des rayons tracés 

 vers les extrémités d'un côté du polygone à h côtés, ce qui revient évi- 

 demment au même. Il est vrai que les considérations de Gregory sont 

 encore plus générales, de sorte que ses théorèmes sont valables aussi 

 pour l'ellipse et l'hyperbole. Mais nous nous bornerons ici à considérer 

 le cercle. 



Si Ton ramène à des polygones complets les portions de polygones 

 réguliers dont il est question dans les théorèmes de Gregory, sa Prop. 

 II peut se formuler: 



' {Sn+.S2n):Zs2n = S ll :S 2n (14) 



et ses Prop III et V '): 



('S'a + $2n) ■ *2n = ? s 2>i : (15) 



La première proportion n'est autre chose que l'équation (10), expri- 

 mée pour des aires, et la seconde proportion l'équation (9) également 

 réduite à des aires 2 ). 



11. Démonstration de Gregory. La démonstration, que Gregory 



donne de sa Prop. II, est remarquable 

 par sa simplicité. Il raisonne sur des 

 aires, ce qui est évidemment néces- 

 saire pour que ses considérations s'ap- 

 pliquent aussi à l'ellipse et à l'hyper- 

 bole. Si nous nous bornons à considérer 

 le cercle, la démonstration peut être 

 réduite à des périmètres; elle prend 

 alors la forme simple que voici. 



Soient, dans la %. ci-contre (fig. 2), 

 AE= \ A- h , AB — \ A 2n etA l)=\a n . Comme MB partage l'angle AME 

 en deux parties égales, on a: 



*) En réalité la Prop. V exprime pour le cercle identiquement la même 

 chose que la Prop. III; seulement dans la Prop. V les portions de polygones 

 sont deux fois plus grandes que dans la Prop. III. 



2 ) Il est à remarquer que l'on trouve chez Snellius une proposition qui, après 

 une petite transformation , conduit à l'équation (7) et est donc en réalité équi- 

 valente à cette équation; et déjà chez Archiméde on rencontre une proportion, 

 qui se transforme très facilement en (7). Voir une note au § 11, n°. 63 (p. 83). 



