F. SCHUH. 



en d'autres termes, P% n est la moyenne harmonique de p n et P n , pi n la 

 moyenne géométrique de p n et P-i n . On peut calculer de la même façon 

 P'in et p> ia au moyen de p-i n et P% n , etc. 



Dans sa Prop. XXIX Ghegory emploie ses équations (17) pour cal- 

 culer les surfaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit à 2 14 cô- 

 tés. Ce n'est pas là toutefois l'usage principal qu'il fait de ces équations; 

 il s'en sert surtout dans ses considérations sur les suites convergen- 

 tes l ) des nombres s n , si n , s^ n , sgn , etc. et S n , S% n3 S^ n , Ss n , etc. et 

 sur l'impossibilité d'exprimer analjtiquement en s n et S n la limite (ter- 

 minatio) commune de ces suites. Nous y reviendrons amplement plus 

 loin (§ 6, n os . 29, 30 et 31). 



§ 3. Formules d'approximation de Huygens. 



13. Formulation du problème. La méthode (VArchimède pour cal- 

 culer la circonférence du cercle revient à faire usage des inégalités 



ou bien, en remplaçant n par 2n et appliquant l'équation (3), de 



Pn 



Ainsi donc, tandis que la limite inférieure de la circonférence est 

 simplement p-m, la limite supérieure est une fonction rationnelle àep-2a 

 et p n . Or, le problème qui se pose est le suivant: 



1 ) C'est chez Gregory qu'on trouve pour la première fois l'emploi du terme 

 „convergent". Voir M. Cantor, Vorlesungen ùber Geschichte der Mathematik, 

 t. II, p. 656. 



2 ) A la limite (n = go) les erreurs de ces limites inférieure et supérieure sont 

 entr'elles comme 1:2; la moindre de ces erreurs, correspondant au nombre 

 proportionnel 1, est à peu près égale à 



*- 5 2,584 



-r-env., 



12 n 3 



ainsi qu'on peut le montrer aisément pas les considérations du § 9, en particulier 

 des n os . 51 et 52. Le rapport de ^ — â ^ l'erreur correspondant au nombre propor- 

 tionnel 1 est égal à 1 à la limite (n= oo), et ^ est arrondi à 2,584. 



