CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 1 9 



Enfin, dans son Probl. IV, Prop. XX (1. c. p. 175), Huygens fait 

 connaître sans démonstration une limite inférieure pour un arc de cercle; 

 ramenée à la circonférence tout entière cette limite peut s'écrire: 



6 + 9 ^ + — 



6 P2n + 9 



La façon dont Huygens est arrivé à cette inégalité nous est incon- 

 nue l ). Son exactitude résulte cependant d'une autre expr. appr., que 

 Huygens a déduite en 1668, lors de sa polémique avec Gregory, et 

 également par des considérations sur le centre de gravité d'un segment 

 de cercle. Cette formule, que l'on trouve avec sa déduction dans le livre 

 1) (pp. 61 — 64) de ses Aclversaria, s'écrit: 



%K>Pn-\ ^-7 rj- (21) 



Comme cette limite inférieure est plus grande que la précédente , ainsi 

 qu'il est facile de le prouver, l'exactitude de l'inégalité (20) du Probl. 

 IY s'ensuit immédiatement. 



En outre, dans une lettre à J. Gallois, datée de 1668 (Œuvres com- 

 plètes, t. "VI, p. 274), Huygens donne encore une formule d'approxi- 

 mation pour l'aire du cercle, laquelle s'écrit, après être ramenée à des 

 périmètres : 



2?T < T V (16 p 2n + 2P 2n — Sp n ) = 

 = P2n + | (P2n -Pn) + A (»*) 



dont l'exactitude résulte immédiatement du fait, que cette expression 

 est plus grande que celle de la formule (19). 



Les quatre dernières expr. appr., sur lesquelles nous reviendrons dans 

 la seconde partie de ce travail, sont du même ordre. Ainsi qu'il résulte 

 des considérations du § 9 , les erreurs de ces expressions sont entr'elles, 

 à la limite, comme 



*) A ce sujet Huygens dit simplement: „quod à diligentiori centrorum gra- 

 vitatis inspectione dependet" (1. c. p. 173). 



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