CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



quelconque. Et parmi celles-là on peut compter les expr. appr. qui 

 découlent de l'équation (7) de Gregory. En effet, cette équation n'est 

 autre chose que ce que l'on obtient en ramenant à des périmètres complets 

 la relation (6), existant pour un arc de cercle quelconque entre les cordes 

 appartenant à Tare, le demi-arc et le quart d'arc. 



Les expr. appr. qui se déduisent de la considération du centre de 

 gravité d'un segment quelconque de cercle appartiennent aussi à ce 

 groupe, puisqu'on trouve d'abord uue expr. appr. pour l'arc du segment 

 et de là une expr. appr. pour la circonférence tout entière. Nous 

 pouvons donc conclure : 



Dans la suite nous ne rencontrerons pas d'autres expr. appr. pour 27T 

 que celles qui sont de la forme (23) ou peuvent être ramenées a cette 

 forme *). 



*) Cela ne veut pas dire qu'il n'y ait pas d'autres expr. appr. pour 2x ren- 

 fermant p 2n et p n . Seulement celles-ci doivent être obtenues d'une tout autre 

 manière. Ces autres expr. appr. ont d'ailleurs, comme nous le démontrerons, 

 cette propriété, qu'elles fournissent immédiatement une équation, dont t est 

 une racine, de sorte que la recherche de pareilles expr. appr. équivaut en 

 réalité à la recherche d'une équation ayant x comme racine. 



Pour démontrer cette propriété, nous commencerons par éliminer la lettre n, 

 à l'aide de l'équation (28), dans le cas où elle figurerait dans l'expr. appr. 

 autrement que comme indice. L'expr. appr. que nous obtenons ainsi peut se 

 mettre sous la forme p 2n F (p n , p 2 n)> ce l 11 * devient, en posant p n = p 2n x; 



Pour n = co cette expression doit tendre vers la valeur limite 2 tt, de sorte 

 que (comme x tend en croissant vers la limite 1 à mesure que n augmente) 

 f(x,y) doit être continu pour x== 1, y = 27r, la continuité étant suffisante du 

 côté x <C 1, y <C 2 7r. La valeur limite de P2 n f( x iP2n) es ^ a ^ ors 2x/"(l,2x), de 

 sorte que, comme la valeur limite doit être aussi 2tt, il faut qu'il soit satisfait 

 à la relation 



/(l, 2*0 = 1. 



On obtient donc ainsi une équation dont x est une racine, à moins que 

 f{ x iP2n) ne contienne pas la grandeur p 2n . Dans ce dernier cas on peut écrire 

 f(x) au lieu de f(x : p 2)l ), et alors l'expr. appr. prend la forme p 2n f (x), c. à d. 

 la forme (23). 



Les expr. appr. qui conduisent à une équation d'où l'on peut tirer sr ont 

 évidemment perdu de leur intérêt et l'ont cédé entièrement à cette équation. 

 Il résulte d'ailleurs de la transcendance de x qu'une pareille équation ne sau- 



