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P. SCHUH. 



§ 5. UnILATER ALITE ET MONOTONIE. 



23. Unilatéralité. Si l'expr. appr. a la propriété de donner pour des 

 valeurs de n, qui dépassent un certain nombre, des résultats qui tous ne 

 sont pas plus grands, ou tous pas plus petits , que la circonférence du 

 cercle, nous dirons que cette expression est unilatérale et dans le pre- 

 mier cas nous parlerons d'une limite inférieure, dans le second d'une 

 limite supérieure. 



Si cette propriété existe non seulement pour des valeurs de n suffi- 

 samment grandes , mais j)our toutes les valeurs de n que nous admettons 

 conformément au § 1, n°. 4, c. à d. pour toute valeur de n qui n'est 

 pas plus petite que 1 1 ), nous dirons que l'expr. appr. est unilatérale 

 permanente et nous parlerons d'une limite inférieure ou supérieure per- 

 manente. Il peut arriver dans ce cas que l'expr. appr. devienne infinie 

 pour certaines valeurs de n, mais nous pouvons néanmoins continuer à 

 parler d'une limite inférieure ou supérieure permanente. Nous pren- 

 drons alors comme résultat -f- co ou — ao , suivant que le résultat est 

 positif ou négatif lorsqu'on accorde à n d'autres valeurs, donc suivant 

 qu'on a affaire à une limite permanente supérieure ou inférieure 2 ). 



rait être algébrique, de sorte que l'expr. appr. qui y conduit ne peut elle- 

 même pas être algébrique. Aussi n'est-il pas aisé de fournir des exemples de 

 pareilles expr. appr. On devrait recourir p. ex. à des séries infinies, comme la 

 série suivante: 



Bien que l'approximation fournie par cette expression soit assez bonne (elle est 

 not .mment du même ordre que celle de p 2n + \ {ï>2n — P n )),l' ex P ress i° n est cepen- 

 dant sans utilité, à cause de la lenteur de la convergence delà série. D'ailleurs, 

 avec des séries infinies beaucoup plus rapidement convergentes, on peut obtenir 

 des expr. absolument exactes pour 2x, de sorte que des expr. appr. comme 

 la précédente n'ont pas de sens. 



*) Dans la suite nous dirons simplement „toute valeur de n," en sous-enten- 

 dant la restriction: „qui n'est pas plus petite que 1". 



2 ) En général le cas où l'expression devient + co ou — co sans chan- 

 ger de signe se présentera pour n = 1 , puisque n ne peut s'approcher de 1 

 que d'un seul côté. Si l'expr. appr. est rationnelle, il faudra pour cela que 

 le dénominateur s'annulle pour n = l; comme pour n = 1 on a p 2n = 4, 

 p w ==0, cela n'est possible que si le dénominateur contient le facteur p n . Des 



