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P. SCHUH. 



Dans plusieurs cas Tunilatéralité se démontre le plus simplement par 

 la monotonie 1 ). Cela provient de ce que la monotonie, si elle existe, 

 est aisément prouvée au moyen de l'équation (7) de Gregory. Cette équa- 

 tion, en effet, est linéaire en p n , de sorte qu'elle permet d'exprimer aisé- 

 ment p nj donc aussi P2nf(—) , au moyen de/?2n 'et/?4n. Nousyrevien- 



\p2nS 



drons avec plus de détails au § 8, n°. 41. 



§ 6. Preuve, que 2tt ne peut pas s'exprimer algébriquement 



AU MOYEN DE p% n ET p n . 



26. Equation fonctionnelle pour f (y). Supposons que 



\p2nS 



ne soit pas une expr. appr., mais une expr. rigoureusement exacte pour 

 la circonférence 2tt du cercle, et cela pour toute valeur de n, de sorte 

 qu'on a: 



P2n 



Cette équation définit la fonction f (x) } du moins pour des valeurs de 

 x = — comprises entre 0 (pour n = 1) et 1 (pour n = oc) 2 ). 



f2n- 



l ) Au sujet d'autres méthodes pour montrer l'unilatéralité voir § 8, n°. 46. 

 *) La fonction /", définie par (34), peut se déterminer comme suit. Pour 

 exprimer 2tt au moyen de p n et _p 2n , on doit éliminer n et a entre les équations 



p 2n = 4n sin u , 

 p n = 2n sin 2# 



(où 2# est donc l'angle au centre du polygone régulier inscrit à 2n côtés). A 

 cet effet nous tirons a. et n des deux dernières équations, ce qui donne: 



a = arc cos 



Pn Ha 



P2n ^\ / V2n L ~Pn 2 

 en substituant ces valeurs dans la première équation on trouve: 



P2n Pn 



arc cos 



V V^n— Pn P2n 



