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T. SCHUH. 



En effet, y = — a comme valeur minimum (pour n = 1) 



ê >— 



— \ V %, comme valeur maximum (pour n — oo) 1. 



4 1/2 



Inversement, si f {y) est une fonction de y qui, pour les valeurs 

 nommées de y, satisfait à Féquation (37), l'équation (36), et par con- 

 séquent aussi (35), est satisfaite pour toute valeur de u *); si donc f(y) 

 est continu à gauche pour y = 1, on a : 



\p-2nS n = oo . \p-2ny 



de sorte que l'équation (34) est vérifiée si l'on a en outre: 



/(1) = 1. (38) 



Nous trouvons ainsi : 



Si f (y) est une fonction de y qui, pour toutes les valeurs de y com- 

 prises entre ^ V2 et 1, satisfait à V équation fonctionnelle (37) et, pour 

 y — 1; est continue et prend la valeur 1, V équation (34) est vérifiée 

 pour toute valeur de n 1 ). 



Comme f (x) est déterminé par Féquation (34) pour des valeurs de x 

 comprises entre 0 et 1 et que cette équation est une conséquence de 

 (37) et (38), en vertu de la continuité de f(x) pour x = 1, on peut dire: 



V équation (37), pour des valeurs de y comprises entre \ y'îl et 1, et 

 V équation (38), combinées avec la continuité de f (x) pour x = 1, déter- 

 minent la fonction f (x) pour des valeurs de x comprises entre 0 et 1 2 ). 



*) Yoir note 1, p. 24. 



2 ) C'est ce qu'on peut prouver directement en substituant y = cos \ a dans 

 l'équation fonctionnelle (37), ce qui la transforme en 



f (cos \ a) = cos -| a f (cos a) , 

 sin \ a f (cos % a) = ^ sin a f (cos a) , 

 sin \ a f (cos h, ot) sin et f (cos a) 



x 



ou bien, si nous posons 



sin a f (cos u) 



a 



F(u) = F (| oc) 



F (ce) 



