CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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27. Preuve que f {x) n'est pas une fonction algébrique. Nous 

 allons prouver maintenant : 



La fonction f{x), qui vérifie V équation (34), n'est pas une fonction al- 

 gébrique de x ,c.à cl. quelle n est pas une racine d'une équation de degré su- 

 périeur, dont les coefficients sont des fonctions entières et rationnelles de x. 



Supposons, en effet, que f (x) soit une fonction algébrique de x et 

 soit, posant f [x] = z, 



T 0 (x) + z T x (x) + z' 1\ [x] + . . . . + z m T m (x) = 0 (39) 



une équation de degré supérieur à laquelle z satisfait et où T 0 (x) , 

 T x {x), . . . ., T m (x) sont des fonctions rationnelles et entières de x. Au 

 sujet de l'équation (39) nous pouvons supposer, que z ne satisfait pas à 

 une équation de degré moins élevé. Ceci implique que T m (x) n est pas 

 identiquement nul, mais aussi que T 0 (x) n'est pas identiquement nul, 

 puisque autrement (39) se réduirait après division par z à une équation 

 de degré moins élevé. On a donc, appelant v et w les degrés de T 0 (x) 

 et T m {x): 



T 0 (x) = A 0 x^ + A 1 x^ + (40) 

 T m (x) = B Q x™ + B x x™-* +...., (4-1) 



où A et B sont différents de zéro. 



Cette équation est valable pour des valeurs de a comprises entre 0 et \ t, lorsque 

 l'équation (37) est vérifiée pour des valeurs de y comprises entre ^ 1/2 et 1. On a 

 donc: 



F(«) = F(* «) = F(i *) = F(\ ce) 



Si f (x) est continu pour x = 1 et si f (1) = 1 , F (x) est continu pour a = 0 

 et F (0) = 1 , donc : 



F {a) - Uni F(*) = F (0) = 1. 

 a = 0 



De sorte que , pour des valeurs de a comprises entre 0 et \ t : 



sin oc f (cos oc) 



f (cos a) - — , 



sin ot 



ou bien, posant cos a = x : 



/>) = 



arc cos x 



pour des valeurs de x comprises entre 0 et 1. 



