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Or, si la fonction / (x) ou z, définie par (39), satisfait à l'équation 

 (34), donc, en vertu de ce que nous avons trouvé au n°. 26, à 



/( i r) = ^/(2^ î -l), 



on a, posant f{$ x 2 — 1) == u: 



z — xu, (42) 



et en même temps u satisfait, en vertu de (39), à 



T 0 (2 x 2 — 1) + u T A (2 x' — 1) + u 2 T, (2 x 2 — 1) + 



+ .... +u m T m (Zx 2 — 1) = 0. 



Eu égard à (42), cette équation se transforme en 



x m T 0 (2 x 2 — 1) + zx m ~ x T 1 (Zx 2 — V) + z 2 x m ~ 2 T 2 {2x 2 — I) + 



+ ....+ z m T m (2 x 2 — 1) = 0. (43) 



Si Ton multiplie les deux membres de (39) par T m (2 x 1 — 1) et les 

 deux membres de (43) par — T m (x) et que Ton additionne membre à 

 membre, les termes en z m disparaissent et l'on obtient donc une équation 

 en z de degré inférieur au m me , à moins que les coefficients des puissances 

 de z et les termes connus disparaissent en même temps. Puisque nous 

 avons supposé qu'une pareille équation de degré inférieur est impossible, 

 nous avons, en songeant à la disparition des termes connus: 



T 0 (x) T m (2 x 2 — 1) = x m T 0 (2 x 2 — 1) T m {x\ (44) 



ce qui doit être identiquement vrai. 



U résulte de (40) et (41) que les termes du degré le plus élevé du pre- 

 mier membre de (44) sont: 



2 W A 0 B 0 x v + 2w (45) 



et ceux du degré le plus élevé du second membre de (44) : 



2 V A 0 £ 0 x m + 2v + w . (46) 



Les expressions (45) et (46) doivent s'entredétruire, si Ton veut que 

 la relation (44) soit identiquement satisfaite, de sorte que les coeffi- 

 cients, ainsi que les exposants (puisque les coefficients ne sont pas nuls), 

 doivent être égaux. Il s'ensuit: 



w = v , (47) 

 w = m + v. (48) 



