CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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Comme le degré m de l'équation (39) est au moins égal à 1, on a 

 m^> 0, et les équations (47) et (48) sont donc contradictoires. La sup- 

 position que f[x) serait une fonction algébrique, conduit donc à une 

 absurdité ! ). 



28. Cas particuliers. En posant m = 1 dans le théorème du n°. 27 

 on trouve: 



La fonction f(x),' qui satisfait à V équation (34), n est pas rationnelle. 



Un autre cas particulier, c'est que f{x) ne peut pas s'exprimer en x 

 par des expressions ne contenant que des radicaux. En effet, si cela était 

 possible, on pourrait (en faisant passer des termes d'un membre dans 

 l'autre et multipliant les deux membres par une même fonction de x, ou 



l ) Si f (x) était une fonction algébrique, c. à d. si z = f (x) satisfaisait à 



p n 



une équation de la forme (39), en vertu de la relation x = - — et de l'équation 



P-2n 



2 5T=p 2 n z i résultant de (34), le nombre x vérifierait l'équation: 



P2n »r (*!.") + ^v^"- 1 T, (*!L) + 4 ,,,_„ — 2 r, + 



\P2nS \P2nS Wïm/ 



+ + 2™ x™ Tm(—^) = 0. 



\P2nS 



Or, si n a une valeur telle, que pn puisse être représenté comme racine 

 d'une équation de degré supérieur à coefficients entiers (ce qui est p. ex. le cas 

 pour n = 1, 3, 5, 15, 17, etc. et pour des valeurs que l'on obtient en multipliant 

 ces nombres par une puissance de 2) on pourrait éliminer les grandeurs p 9n 

 et pn des deux équations et de la relation 16 n 2 (p. ln 2 — P n % ) = P±ni résultant 

 de (28); on obtiendrait ainsi une équation de degré supérieur à coefficients entiers, 

 dont x serait une racine. Ce qu'il y aurait de plus simple à faire, ce serait de 

 prendre n = l, ce qui donnerait p 2n = 4 et p n = 0, et l'équation de degré 

 supérieur, à laquelle x devrait satisfaire, serait: 



2>» T 0 (0) + 2^ -1x^(0) + 2'» - 2 x 2 T 2 (0) + + tt»< T m (0) == 0. 



Or, le théorème de la transcendance de x dit qu'une pareille équation de 

 degré supérieur n'est pas possible. Nous aurions donc pu invoquer cela pour prouver 

 que f {x) ne saurait être une fonction algébrique, mais nous ne l'avons pas 

 fait, parce que nous nous plaçons ici à un point de vue tout élémentaire. 



Mais inversement, du fait que f (x) n'est pas une fonction algébrique il 

 n'est pas permis de conclure à la transcendance de t. Il en résulte uniquement 

 qu'on ne saurait trouver par cette voie une équation algébrique dont x est 

 une racine. On ne saurait prouver ainsi que la chose est impossible de toute 

 autre manière. En effet, le théorème de la transcendance de x a une portée 

 beaucoup plus grande. 



ARCHIVES NÉERLANDAISES, SERIE III A, TOME III. 3 



