36 



F. SCHUH. 



Or, ceci n'est autre chose que l'équation fonctionnelle (37), dont 

 nous avons démontré au n°. 27 qu'on ne saurait y satisfaire au moyen 

 d'une fonction algébrique. Il s'ensuit donc que le segment de cercle ne 

 peut pas être une racine d'une équation de degré supérieur, dont les 

 coefficients sont exprimés rationnellement en A et B. 



31. Critique de Huygens de la démonstration de Gregory. 

 Huygens n'était pas du tout satisfait de la démonstration de Gregory. 

 D'après lui l'impossibilité d'une équation dans le genre de celle men- 

 tionnée à la fin du n°. 30 ne résulte pas des considérations de Gregory 

 [Œuvres complètes de Huygens, t. VI, p. 273). 



Ensuite Huygens fait remarquer (1. c. p. 273) avec raison que, même 

 si la Prop. XI de Gregory était démontrée, il n'en résulterait pas 

 encore l'irrationnalité du nombre tt, puisque, si un secteur quelconque 

 ne peut pas s'exprimer analytiquement en A et B, il se pourrait qu'on 

 puisse cependant le faire pour quelques secteurs spéciaux. Si on pouvait 

 le faire p. ex. pour un secteur qui est le quart du cercle, Taire du 

 cercle serait par là exprimée analytiquement en le carré du rayon. 



Il est vrai que dans le mémoire cité de Gregory on ne trouve pas 

 cette assertion, que la Prop. XI fournit en même temps la démon- 

 stration de l'impossibilité de la quadrature analytique du cercle, mais 

 Gregory le pensait néanmoins, ainsi qu'il résulte d'une communication 

 de Gregory à Wallis et comme Huygens aussi le savait, à ce qu'il 

 paraît [Œuvres complètes, t. VI, p. 284). 



Wallis, qui considérait comme valable la démonstration que Gregory 

 donne de sa Prop. XI [Œuvres complètes de Huygens, t. VI, p. 253), 

 partageait les doutes de Huygens au sujet de la conclusion relative à la 

 quadrature du cercle (pp. 28 1 — 289), qui, en effet, est dénuée de tout 

 fondement (voir la note p. 33). Il communiqua ses doutes à Gkegory, niais 

 ne put pas le convaincre. Dans sa lettre à Oldenburg (Œuvres complètes 

 de Huygens, t. VI, pp. 306 — 309) et dans la Praefat/o de ses Exercita- 

 tiones Geometricae (ibid., p. 311) Gregory soutient qu'il a résolu la 

 question non seulement pour un secteur de cercle quelconque, mais 

 aussi pour tout secteur spécial, et qu'il a démontré par là: „Nullam esse 

 rationem analyticam intèf circulum et diametri quadratum" (p. 306) ] ). 



x ) Au sujet de la polémique entre Huygens et Gregory voir encore Œuvres 

 complètes de Huygens, t. VI, nos. 1647, 1653, 1659, 1669, 1671, 1G72, 1676, 

 1682, 1684, 16*5, 1709 et 1722. 



