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33. DÉVELOPPEMENT EN SERIE SUIVANT DES PUISSANCES DE 1 X. Si 



dans (51) on pose : 



x = 1 — t , 



on trouve : 



/M = 1 + O < (2 - 1) + * s (2 - <) 2 + 



Développant les puissances de 2 — / suivant le binôme de Newton 

 et ordonnant suivant les puissances de t — \ — x, on obtient la série 



l+^ + Â' 2 +3 2 5* 3 + ^ 4 +■■■; (53) 



dont il faut encore prouver qu'elle est égale à f{x). 

 On peut cependant déjà conclure directement: 



Si f{x) admet un développement en série suivant les puissances crois- 

 santes de 1 — x = t, cette série ne peut être autre que (53). 

 En effet , si Ton met le second membre de (52) sous la forme 



1 + B 1 t{Z— t) + B 2 t 2 (2- t) 2 + £ 3 t*{2 — t) 3 + .. . . (54) 



et que Ton écrive pour (53) 



l+ Cl i+C 2 t* + C 3 ? + ...., (55) 



d est déterminé comme le coefficient de P dans 



1+ B t t{l — t) + B 2 t\2 — t) 2 -\-, . . . + BiPtt — t) 1 . (56) 



Si nous représentons cette expression par \p t (t) } nous avons donc : 



1 (') 



■Ci = j-^i (0), (57) 



lorsque 



dt l 



Soit maintenant 



1 + <V t + G/ fi + C 3 ' t' + . . . . (58) 



