CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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Comme rapport du (i + l) me terme, ui + i, au i me , u i} on trouve: 



u\. + 1 i , 



m ~2i+l 3 



d'où résulte : 



7 . n + i 1, 



i — oo %i & 



de sorte que la série (64) est convergente pour toutes les valeurs de t 

 comprises entre — 2 et + 2. Dans tous les cas la série (64) est donc 

 convergente pour toutes les valeurs que t peut prendre en vertu de sa sig- 

 nification: 1 — -—{g. a d. les valeurs qui satisfont À 0 <^/< 1). 



P % 2n 



35 . Preuve que \p (t)=f(x). Si Ton veut introduire dans (55) ou (64) 

 la grandeur u = t (2 — t), on doit substituer: 



1 — Vl — u. 



Si Ton développe V\ — u = (1 — f u)^ % suivant la série binomiale, 

 ce qui est permis, puisqu'il résulte de 0 <C t <Z 1 que 0 <^n<^l, on 

 trouve : 



1.3.5.7 



.4.6.8.10 



(05) 



En substituant cette valeur dans le second membre de (64) et ordon- 

 nant suivant les puissances de u, on obtient la série : 



1 + Ê t ' u + B 2 ' u 2 + 3 3 ' u 3 + , (66) 



dont on peut aisément démontrer, grâce à cette circonstance que les 

 séries (64) et (65) ne contiennent que des termes positifs et sont donc 

 absolument convergentes, qu'elle est égale à \p (t) de sorte que 



A ) Il résulte en effet de la convergence absolue de (65) que l'on peut déduire 

 de cette série, par les règles ordinaires de l'élévation à une puissance, des séries 

 pour £*, / 3 , etc. En substituant dans (64) on obtient alors la somme d'un nombre 

 indéfini de séries à termes exclusivement positifs, que l'on peut additionner 

 membre à membre. 



Au contraire, en ordonnant (54) suivant les puissances de ce qui fournit (55), 



