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F. SCHUH. 



^ (/) = 1 -f B\' u + B.; ^ + B,'u 3 + (67) 



Nous allons démontrer maintenant que B{ = B\. A cet effet nous 

 remarquerons que B{ est le coefficient de iû dans l'expression que Ton 

 obtient en effectuant la substitution (65) dans 



1 + C x t+ C 2 t 2 + +'Ci#, (68) 



puisque les termes suivants de (55), c. à d. Ç i + i t i + i -\- , ne 



fournissent que des puissances de u à exposant plus élevé que i. Or, (55) 

 se déduit de (54) en ordonnant par rapport aux puissances de t, de sorte 

 que (68) dérive de (56) par l'omission des puissances de t supérieures 

 à la i me . Il s'ensuit que (68) et (56) donnent, après la substitution (65), 

 le même coefficient de u'. Or, par cette substitution, c.àd. en posant 

 t (2 — i) — u, (56) devient 



1 + B, u+ B 2 u 2 +....+ But, 



on ne peut pas conclure sans plus à l'égalité de (54) et (55), puisqu'en développant 

 (54) on obtient des termes positifs et négatifs. Si l'on prend tous les termes 

 avec le signe +, (54) est remplacé par 



1 + 1^(2+ *) + B 2 e (2 + ty + B 3 t 3 {2 + o 3 + 



B ' 



Comme Uni = 1, cette série n'est convergente que si t (2 + t) <! 1, 



i = oo B i — 1 



donc t <C — 1 ou x > 2 — ^2. Dans ce cas on peut conclure directement 

 à l'égalité de (54) et (55). Mais si x«<2 — K2, la démonstration doit en être 

 fournie, ainsi que nous l'avons fait. 



Si toutefois on veut faire usage de propriétés qui se démontrent dans la théorie 

 des fonctions, on peut conclure directement à l'égalité de (54) et (55). On 

 apprend notamment, dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, 

 qu'une série uniformément convergente de fonctions que l'on peut écrire comme 

 séries de puissances à exposants positifs, est également une fonction qui peut 

 s'écrire comme série de puissances à exposants positifs; en outre, les coefficients 

 de cette dernière série de puissances s'obtiennent en sommant les coefficients 

 des puissances de même nom des premières. Or (54) est uniformément conver- 

 gent dans l'intervalle 0 < t <C 1 — où à est un nombre positif, aussi petit 

 que l'on veut, et chaque terme de cette série est développable suivant des puis- 

 sances de t. 



Les démonstrations des n os - 33 et 35 sont donc superflues. Nous les avons 

 données néanmoins pour ne pas devoir supposer la connaissance de la théorie 

 des fonctions. 



