CIRCONFERENCE DU CERCLE. 43 



de sorte que le coefficient de u* dans le résultat de la substitution (65) 

 dans (68) est égal à Br, en d'autres termes B \ = B,. 

 Il résulte de là, eu égard à (67) : 



•^00= ! + + A» 2 + !?»«' + , 



de sorte que \p(t) est égal à (54), c. à d. au second membre de (52), 

 donc à f(x). 



Nous avons démontré par là l'identité de la fonction •■p (t), définie par 

 (64), avec la fonction f(%), définie par (50) Comme t = 1 — x, on a 

 donc : 



La circonférence 2 tt du cercle est donnée par V équation 



p2i 



arc cos x \ ] 2 12 3 



/.M = = 1 + 3 ^ + 3-5 ^ + 077 ^ + 



ou bien, en réduisant les coefficients a leur plus simple expression : 



f(x) =1 + 1 (1-*) + A (1-*)* + ^ (l-*) 3 + 7 f 5 (l-*) 4 + 

 + zh (l-^) 6 + tMt.O^)' + Kttï U^*)' +•••')• (70) 

 On pourrait encore formuler ce résultat ainsi : 



La circonférence de cercle s'exprime comme suit au moyen de p-m ef p.„: 

 o 1 1 / v 1 1.2 Q»-2,.— P ,.)' 1 1.2.3 (y,,— y ,,) 3 , 



1.8.3.4( fe ,-j^ 

 ^3.5.7.9 y 2 „ 3 J 1 j 



*) On peut montrer que tous les coefficients, réduits à leur plus simple 

 expression, ont comme numérateur une puissance de 2. Il s'ensuit alors 

 immédiatement, eu égard à (63), que C. 2i et C 2i + ,, donc les coefficients de 

 (1 — x) 21 et de (1— a?) 2i + 1 , ont même numérateur lorsqu'ils sont réduits à leur 

 plus simple expression. 



2 ) En prenant n = 1 on en déduit: 



on . 1 , 1-2 , 1.2.3 ,1.2.3.4 , 

 * = 2{1 +3 + 3.5 + 3X7 + 376X9 + } 



.^won , 1 , 1-2 , 1.2.3 1.2.3.4 



