44 P. SCHUH. 



36. DÉDUCTION DU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE l'ÉQUATION FONC- 

 TIONNELLE. Le développement en série de f(œ) pent se déduire également 

 de l'équation fonctionnelle (37) du § 6, n°. 26, combinée avec l'équation 

 (38). Nous avons vu, en effet, par le n°. 26, que /(a?) est déterminé par 

 ces deux équations. 



En posant 1 — y — t dans (37), cette équation devient: 



ou bien, en posant encore /'(l — t) = \p (/): 



+ (t) = (l—t) £(4 *--2 * 2 ). (72) 



Si Ton peut admettre que la fonction ^ (t) est développable en série 

 suivant les puissances croissantes de /, il faut que le terme connu soit 

 égal à 1, en vertu de (38). Ce développement est donc: 



f,'W = 1 t + C 2 (73) 



Ceci substitué dans (72) donne: 



1 + C x t + C 2 fi + C 3 +. . . = (1 - t) [1 + C x (4*- 2* 2 ) + 

 + C 2 {4>t — 2 fi) 2 + C, {4<t— 2^ 2 ) 3 + . . .]. (74) 



En ordonnant le second membre suivant les puissances de t et éga- 

 lant les coefficients des mêmes puissances de t dans les deux membres, 

 on trouve: 



12 2 8 



° i = l> Cî = ïb> C ' 3 = 35' Ci== 3T5' etC '' 



donc: 

 ou : 



/ (g) = i + \ (i --y) + ^ (i -y) 2 + ^ (i - y) 3 + 



ce qui est d'accord avec ce que nous avons trouvé au n°. 35. 



De cette façon nous ne reconnaissons cependant pas la régularité dans 



