CIRCONFÉRENCE DÎT CERCLE. 



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les coefficients, donc la forme du coefficient C- t . Mais si Ton a pu tirer ce 

 coefficient de l'équation (74) et que l'on ait donc trouvé l'équation 

 (63), on a fourni la preuve de l'exactitude du développement (73). En 

 effet, l'expression entre crochets dans le second membre de (74) est 

 encore convergente si l'on donne le signe -f- à tous les termes, c. àd. si 

 l'on remplace 4>t — Zf 2 par \t + 2t 2 '), de sorte que l'ordination 

 suivant les puissances de t et la multiplication par 1 — /, suivant les 

 règles ordinaires, de la série de puissances ainsi obtenue sont permises. 

 Il s'ensuit que la série de puissances (73) satisfait identiquement à (74) 

 donc à l'équation fonctionnelle (72). 



37. Limite supérieure du reste. Nous avons trouvé pour f [x] au 

 n°. 35 : 



f(x) = 1 + ^ (1-^.+ C, (1 -x) 2 + C % {\ — xf +.. ., (75) 

 où Ci est déterminé par l'équation (63). Or, il résulte de (63) que 



donc 



r - i + 1 c 



C l + i<lc,. (76) 



Si l'on arrête le développement (75) au i me terme et que l'on repré- 

 sente par R la somme de tous les autres termes, c. à d. le reste, on 

 a donc: 



l ) En effet, d'après ce que nous avons trouvé au n°. 26, y prend dans 

 l'équation fonctionnelle (37) toutes les valeurs comprises entre ^ K2 et 1, donc 



t dans l'équation fonctionnelle (72) toutes les valeurs entre 1 — ^ 1^2 et 0. L'ex- 



pression 4£ -f- 2t 2 prend donc sa valeur maximum pour t = 1 — \jV / 2, et cette 

 valeur maximum est 7 — 4K2; elle est donc plus petite que 2. Il résulte 



immédiatement de là, eu égard à la relation lim ^ j" 1 = jk que la série en 



i= oo uï & 



question est convergente. 



