CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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signe, pour toute valeur de n '), c. à d., eu égard à (82), pour toute 

 valeur de y comprise entre \ V% et 1. Si l'expr. appr. a un certain ordre 

 on peut, comme (1 — y) )n est positif, y remplacer F(y) par la fonction 

 G{y), définie par (87). En vertu des résultats du § 5, n°. 25, on a donc: 



Une expr. appr. pi n f'Ç^'" ^ est monotone permanente et unilatérale 



permanente lorsque f{y) — y ' ffôy 2 — 1) ne peut pas changer de signe 

 pour des valeurs de y comprises entre \ V%et\-, elle est une limite per- 

 manente inférieure ou supérieure suivant que le signe de j \y) — yffây 2 — 1) 

 est continuellement positif ou continuellement négatif. Alors que la con- 

 dition mentionnée pour la monotonie permanente est nécessaire et suffisante, 

 pour V unilatér alité permanente elle est suffisante, mais pas nécessaire 2 ). 

 Si Vexpr. appr. a un ordre, on peut remplacer dans ce qui précède f(y) — 

 y f(Zy 2 — 1) par la fonction G(g), définie par (87). 



42. Monotonie chez Huygens. On peut aisément démontrer à F aide 

 du résultat du n°. 41, que Vexpr. appr. 



P2n + i (Pln—Pn) 



est une limite inférieure permanente, donc que l'inégalité 2 tt pz n 4~ 

 *) Voir note 1 , p. 24. 



2 ) C'est ainsi que l'expr. appr. p 2n + f (p 2n — Pn), comme on le verra au 

 § 18, n°. 95 note, est unilatérale permanente (et notamment une limite supé- 

 rieure permanente), mais elle ne satisfait pas à la condition en question et 

 n'est donc pas monotone permanente. En effet, pour cette expr. appr. on a f(x) = 

 i (5 - 2x\ donc f(y) — y f (2y 2 — 1) = * (1 — y) (5 — 4y - 4y "). Tandis que le 

 facteur 1 — y est toujours positif, le facteur 5 — hj — iy 2 est positif pour y = 

 |^2, négatif pour y = 1. De sorte que l'expr. appr., bien qu'elle soit une 

 limite supérieure permanente, fournit pour » = 2 un résultat plus grand (donc 

 moins précis) que pour n — 1. 



Un autre exemple d'une expr. appr. qui est unilatérale permanente mais pas 

 monotone permanente est fourni par l'expr, appr. 



P2n — —(P2n — Pn)' 



Celle-ci est plus petite que p 2n et donc comme p 2n une limite inférieure 

 permanente. En outre f(x) = l — 2x(l — x), de sorte que 



f (y)~y f (V-l) = (1-1/) [1-2 y + 4 y (1 + y) (2 y*-l)\. 



Le facteur entre crochets est négatif pour y = £ 1/2, positif pour ?/ = l 1 de 

 sorte que la condition de monotonie permanente n'est pas satisfaite. 



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