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E. SCHUH. 



iipzn — p.) du Theor. VII de Huygens est vérifiée. Pour cette expr. 

 appr. on a notamment f[x) = 1 -f- \ (1 — de sorte que 



= iU -y? (2+ y)- 



Cette expression est toujours positive, de sorte qu'on a affaire à une 

 limite inférieure monotone permanente. La preuve de ce fait se fournit 

 donc en démontrant l'inégalité y fi^y 1 — 1) <C.f{y), ce qui revient à 

 démontrer l'inégalité p 2n + -J- [pin — Pn) <Zp'm +i(i»4n — p-in) ou 



p2n —Pn < 4 (i? 4 « ~ i?2n). (90) 



La démonstration que Huygens donne de son Theor.VII revient aussi 

 à celle de la dernière inégalité, avec cette différence toutefois, que 

 Huygens raisonne sur des aires, ce qui fait que l'inégalité (90) est 

 remplacée par : 



sin — *n < 4 {s An — s 2n ). (91) 



C'est là le Theor. I, Prop. I de Huygens '); Huygens, toutefois, ne 

 déduit pas ce théorème de l'équation de Gregory, ou d'une relation 

 équivalente, mais de considérations géométriques très simples. De (91) 

 Huygens arrive à 77 >> s 2n -\- ^ (s2n — *n) (Theor. V, Prop. V) et de 

 là à son Theor. VIL 



On peut démontrer de même, par le résultat du n°. 41, quePexpr. 

 appr. 



op n 



est une limite supérieure permanente (Theor. VIII de Huygens). Ici : 



2 4- x 2 



donc: 



/«-.y/(^-l) = 3 y (2y»-l) " 



J ) Avec cette différence, toutefois, que Huygens énonce sa proposition pour 

 ces parties-là des polygones qui sont situées à l'intérieur d'un segment de 

 cercle, ayant comme corde un des côtés an , ce qui revient évidemment au 

 même. 



