CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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Cette dernière expression est toujours négative i ) pour des valeurs de 

 y comprises entre \ \/2 et 1, de sorte que Pexpr. appr. est une limite 

 supérieure permanente monotone. 



La démonstration est fournie en prouvant la monotonie permanente, 

 donc l'inégalité 



OU 



HP2n—Ptn)>P2nr-p«, (92) 



ce qui, ramené à des aires, s'écrit: 



2 (SnS,n) > S2n—Sn- (93) 



Huygens aussi base la démonstration, qu'il donne de son Theor. VIII, 

 sur la dernière inégalité, laquelle figure chez lui comme Theor. II, 

 Prop. II 2 ); mais encore une fois sa démonstration est directement géo- 

 métrique (sans l'intervention de l'équation de Gregory). 11 déduit en- 

 suite de l'inégalité (93), que l'aire du cercle est plus petite que 

 \ (2 8 n + s n ) ( Theor. VI, Prop. VI), ce qui conduit immédiatement à 

 2 sr < | (2 P 2n + p n ), c. à cl. au Theor. VIII. 



On voit donc que Huygens, tout en ne se servant pas de l'équation de 

 Gregory, prouve l'unilatéralité permanente des limites du Theor. VII 

 et du Theor. VIII en en démontrant la monotonie permanente. 



4^3. Monotonie chez Gregory. Les limites s* n -f- Jr (so,, — s n ) (infé- 

 rieure) et 4 (2 S„ -y- s n ) (supérieure) de l'aire du cercle se rencontrent 

 aussi chez Gregory, dans son ouvrage: Vera circuli et Jiyperbolae 

 quadratura , notamment comme Prop. XX et XXI. 



Gregory déduit la limite inférieure, comme Huygens, de l'inégalité 

 (91), qui figure chez lui comme Prop. XV. Dans la démonstration assez 

 compliquée qu'il donne de cette inégalité, il se sert de cette propriété, 

 que S-in est la moyenne harmonique de s- ln et S„, ce qui, comme nous 

 l'avons vu dans § 2, n° 12, équivaut à l'équation (7). 



La démonstration que Gregory donne de sa Prop. XXI repose aussi 

 sur cette dernière propriété, et en outre sur le fait que la moyenne 



') Pour î/ = f J/2, f (y)— y f (2y 2 — 1) devient égal à — go, ce qui tient à 

 ce que l'expr. appr. devient égale à + o° pour n = 1. Voir note 2, p. 24-. 



2 ) Avec cette différence, encore une fois, que Huygens énonce la proposition 

 pour des parties des polygones situées à l'intérieur d'un triangle, découpé de 

 S H par le côté a„. 



