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F. SCHUH. 



géométrique et la moyenne harmonique sont plus petites que la 

 moyenne arithmétique. Si dans 



s-zn — moy. géom. de s n et S n , S&i — moy. harm. deszn et S nj 



Stin— „ „ )) s 2n „ Son , $4n — „ » >, <?4r; „ S-ln> 



etc. 



on remplace toutes les moyennes par des moyennes arithmétiques, les 

 résultats sont rendus plus grands et la valeur limite devient^-(2 8 n -f- s n ). 

 Cette valeur limite est donc plus grande que la limite, pour i = ce, de 

 s. ) > n et #,i . On voit que cette démonstration ne manque ni de simplicité 

 ni d'élégance. 



On voit par là que dans sa Vera circuli etc. Gregory, bien qu'il 

 tire avantageusement parti de son équation, n'en fait pas encore un 

 usage systématique. Aussi n'a-t-il pas pu fournir la preuve d'une appro- 

 ximation pour Taire du cercle, que l'on trouve à la fin de sa Prop. 

 XXV et qui n'est pas très nettement formulée, mais laquelle, d'après 

 une lettre écrite plus tard à Oldenburg [Œuvres complètes de Huygens, 

 t. VI, p. 309) signifierait T V (.8 S 2n + 8 *2n— «n) l ). 



44. Considérations ultérieures de Gregory. Dans ses Exercitati- 

 ones Geometricae (voir Œuvres complètes de Huygens, t. VI, pp. 313 — 

 3£1) Gregory montre pourtant qu'il a complètement saisi la portée de son 

 équation. Il y part d'un théorème, qu'il formule comme suit (p. 318): 



P A B „In quacunque série convergente A B, CD, etc. 



C B cujus terminatio Z, si fuerit quantitas P eodem 



E E modo composita à terminis A, B } quo Q à terminis 



Q G H C, B, et P major fuerit quam Q: denique si com- 



I K ponatur Q eodem modo à quantitatibus aequalibus 



L M X, X, quo à terminis C, B erit X major quam 



X Z: si autem P fuisset minor quam foret X 



Z minor quam Z." 



Ce qu'il entend par „series convergens" ressort de la Definitio 9 de sa 



1 ) D'après (15) cette expression peut encore s'écrire: 

 our la circonférence du cercle cela signifie: 



, i , \ , 4 {vo n — p n y 



