CIRCONFÉRENCE DU CERCLE 



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Ver a circuli etc.; cette définition est: „Smt duae quantitates A, B, à 

 quibus componantur dnae aliae quantitates C, i>, quarum differentia sit 

 minor differentia quantitatum A, B, et eodem modo quo C\ coraponitur 

 à quantitatibus A, B, componatur F à quantitatibus C, B; et eodem 

 modo quo D componitur à quantitatibus À, B, componatur F, à quan- 

 titatibus C, D\ et eodem modo quo F componitur à quantitatibus C, B 3 

 vel C à quantitatibus A , B , componatur G à quantitatibus F, F; et 

 eodem modo quo F componitur à quantitatibus C, D, vel D à quanti- 

 tatibus A, B, componatur H h quantitatibus F, F; atque ita continuetur 

 séries: appello hanc seriem, seriem convergentes." 



A l'usage que Gregory fait de cette définition, on comprend qu'il 

 admet tacitement que les différences entre A et B, C et B, F et F, etc. 

 ont 0 comme limite ! ). Mais par là n'est pas encore assurée l'existence 

 d'une limite (terminatio) commune Z de la suite des grandeurs A, C, F, 

 etc. et de la suite des grandeurs B, D, F, etc. L'existence d'une pareille 

 limite est également admise tacitement 2 ), et pour cela il suffit évidem- 

 ment d'admettre qu'une des deux suites a une limite; car, en vertu de 

 la supposition faite au sujet de la différence entre deux éléments corres- 

 pondants des deux suites, l'autre suite doit avoir la même limite. Dans 

 l'application aux polygones inscrits et circonscrits ces conditions sont 

 évidemment remplies. 



Le théorème en question dit: Si F = f {A, B), Q = f (C, B), P ^> U, 

 donc /' (A, B) ^>f.{G } D), avec la supposition tacite qu'on a aussi 



1 ) En effet, pour prouver que les polygones inscrits et circonscrits forment 

 une telle suite convergente, il dit expressément : „differentia enim polygonorum 

 complicatorum in seriei continuatione semper diminuitur, ita ut omni exhibita 

 quantitate fieri posset minor" (Opéra varia de Huygens, p. 419). 



2 ) Si l'ou admet que les grandeurs A, C, E, etc. forment une suite ascendante, 

 les grandeurs 7), E, etc. une suite descendante, il s'ensuit, eu égard à la 

 première supposition, qu'il existe une limite commune. Mais la preuve que 

 Gregory en admet l'existence sans plus ample examen est fournie par l'exemple 



A* 



qui figure dans sa Prop. X. Dans cet exemple C = VàB, D = — . Ainsi 



VAB 



que Huygens le fait remarquer avec raison (Œuvres complètes, t. VI, p. 230) il 

 n'y a pas ici de limite (cela résulte directement de ce que E=A et F= B, 

 donc G=C, 11= D, etc.). Cependant Gregory trouve une limite commune Z 

 en remarquant que A (A + B) = C(C + D), d'où il déduit, à tort évidemment, 

 A (A + B)=Z(Z-f Z), donc Z=V\A{A + B). 



