56 



Y. SOHUH. 



/ (C, D > / (E,_ F), etc. l ), et si en outre/ (I , X) = f(C, 7J), on a 

 X ^> Z. Gregory base sa démonstration sur le fait que (ainsi qu'il ré- 

 sulte immédiatement des données) Q ^> f{Z, Z), d'où résulte f{X } X) 

 ^> f (Z, Z). Il en conclut que X ^> Z. 



Cette dernière conclusion n'est évidemment pas motivée. Mais dans 

 l'application aux polygones inscrits et circonscrits elle est justifiée, parce 

 qu'alors la fonction /'est homogène et du premier degré , de sorte que P == 



A fi )• L'inégalité / (X, X) >/ [Z, Z) devient alors X/(l)> 



Z /'(l), d'où résulte effectivement (puisque Ton considère exclusivement 

 des grandeurs positives) X ^> Z. 



Gregory n'applique pas seulement son théorème à la découverte de 

 limites permanentes inférieures et supérieures pour Taire du cercle 

 (l'ùnilatér alité permanente de ces limites est donc déduite de leur mo- 

 notonie permanente), mais il se rend compte de la précision de ses expr. 

 appr., de pareille façon que nous le faisons au moyen de Y ordre de ces 

 expressions (ainsi qu'on le verra encore mieux au § suivant); cela 

 ressort de ce qu'il dit à la suite de la démonstration de son théorème: 

 „Ex hoc Theoremate facile patet differentiam inter Xet Z eo esse mino- 

 rera, quo minor fuerit indefinita differentia inter P et Q. Hinc patet 

 campus vastissimus inveniendi approximationes non solumin Circuli et 

 Hyperbolae mensura, sed etiam in omnium aliarum serierum conver- 

 gentium terminationibus , \ 



45. Expressions approximatives de Gregory. Comme preuves à l'ap- 

 pui il ne cite pas moins de 25 expr. appr. pour l'aire du cercle (secteur de 

 cercle) ou pour la circonférence du cercle (arc de cercle) (Oeuvres com- 

 plètes de Huygens^ t. VI, pp. 319 — 321); ces expressions sont au moins 

 du 3 me ordre 2 ) et elles vont jusqu'au 7 me ; il ajoute d'ailleurs qu'il est ca- 

 pable d'établir des expressions du S' ,:e , 9 me , 10 me ordre etc. jusqu'à l'infini. 



Les expr. appr. de Gregory pour l'aire du cercle ou le secteur 

 sont des fonctions entières et linéaires de s H , S,, , s-z,, , S-m , etc., ou des 

 grandeurs correspondantes pour le secteur. Comme exemples nous cite- 



1 ) En effet, (tregory commence sa démonstration ainsi: „Quoniam enim P eodem 

 modo componitur à terminis A, _B, quo Q à terminis C, D, et P major est quam 

 Q, erit etiam Q major quam quantitas eodem modo composita à terminis E 1 , F." 



2 ) Gregory ne parle pas d'une expr. appr. du 3 me ordre, mais d'une expr. 

 appr. qui triple le nombre de chiffres exacts en comparaison de la méthode 

 d'AiicniMÈDE (approximatio quae veras notas triplicat, etc.). 



