CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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rons que Taire du cercle est plus petite que — (8^ -f 8 S2 n — *n) 



et plus grande que — !— (64 -\- 48 s-m — 2 8 n — 5«s n ). La limite supé- 

 i u «J 



rieure, dont nous avons déjà fait mention au n°. 43, donne une appro- 

 ximation du 3 me ordre, la limite inférieure une approximation du 4 me 

 ordre. Cette limite inférieure surtout se distingue par sa simplicité et 

 sa précision; si Ton se borne à des fonctions entières et linéaires de s n , 

 S n , S2n et S lny on ne saurait trouver une expr. appr. plus précise. 



46. Autres méthodes pour prouver l'unilatéralité permanente. 

 Ainsi qu'on Ta vu parce qui précède, la monotonie permanente, si elle existe, 

 fournit un moyen très commode et très simple pour reconnaître l'uni- 

 latéralité permanente. Aussi avons-nous vu que plusieurs des démonstra- 

 tions de Huygens et Gregory permettent de conclure non seulement à 

 l'unilatéralité permanente, mais aussi à la monotonie permanente. 



Mais ce moyen n'est pas le seul dont on dispose pour montrer l'uni- 

 latéralité permanente. C'est ainsi qu'on peut le faire, d'une façon très 

 simple et indépendante de la monotonie, en démontrant que F expr. 

 appr. est plus petite (plus grande) qu'une autre, dont on a déjà montré 

 qu'elle est une limite inférieure (supérieure) permanente. En employant 

 cette méthode il n'est pas nécessaire d'appliquer les expr. appr. aux mêmes 

 polygones, et il sera évidemment avantageux d'accorder à n, dans l'expr. 

 appr. dont Tunilatéralité permanente est déjà démontrée (p. ex. par la 

 monotonie permanente) une valeur 2 (généralement 2') fois plus grande 

 que dans l'expr. appr. à examiner. Huygens se sert de cette méthode 

 dans la preuve de ses Theor. IX et XIII (voir § 3 , n°. 1 5\ et la preuve 

 de son Theor. XI repose sur le même principe (dans ce cas la réduction 

 au Theor. IX ; voir note 26, p. 151 des Œuvres complètes, t. XII). 



Les expr. appr. de Huygens, mentionnées ci-dessus, sont toutes mo- 

 notones permanentes; mais dans la démonstration de Huygens cette 

 propriété ne joue aucun rôle. Cependant, dans l'expr. appr. dont il a 



été question dans la note 2 de la page 5 I , savoir^» (pin — Pn ), 



Pin 



nous avons un exemple simple d'un cas, où l 1 unilatéralité permanente 

 peut être démontrée de la façon décrite (notamment par comparaison 

 avec p2u) mais où il n'y a pas de monotonie permanente, ainsi qu'on 

 l'a vu dans cette même note. 



