58 



F. SCHUH. 



Enfin, dans la deuxième partie de ce travail , nous apprendrons à con- 

 naître d'autres méthodes encore pour montrer l'unilatéralité permanente 

 basées sur la considération du centre de gravité d'un segment de cercle. 



47. Ordre d'expressions approximatives rationnelles. Les expr. 

 appr. qui se prêtent le mieux au calcul, et dont nous nous occuperons 

 donc presque exclusivement dans la suite, sont rationnelles. Elles jouis- 

 sent de la propriété suivante: 



Une expr. appr. rationnelle a un ordre ; cet onhe est un nombre entier 

 plus grand (pie zéro. 



En effet, pour une expr. appr. rationnelle f(y) — y fi^Ly^ — 1) est 

 une fonction rationnelle de y, qui s'annulle pour^ = 1. Si on met cette 

 fonction sous forme d'une fraction, réduite à sa plus simple expression, le 

 numérateur est divisible par 1 — y , mais pas le dénominateur. Mais le 

 numérateur peut être divisible par une puissance de 1 — y supérieure à 

 la l re . Or, si (1 — y)'" est la plus haute puissance de 1 — y qui divise le 



numérateur {m étant donc un nombre entier) , ^ ^ ^yn ~~ es ^ 



une fonction rationnelle de y, qui prend pour y — 1 une valeur finie et 

 différente de zéro. En d'autres termes, m est l'ordre de l'expr. appr. 

 Par conséquent : 



L'ordre d'une expr. appr. rationnelle est l'exposant de la plus haute 

 puissance de 1 — y, par laquelle f(y) — y f{%y 2 — 1) est divisiole. 



Remarquons cependant que, si l'expr. appr. est algébrique, mais non 

 rationnelle, donc si f{x) est la racine d'une équation de degré supérieur 

 à coefficients qui sont des fonctions rationnelles de x } on peut encore 

 démontrer qu'elle est d'un certain ordre; seulement cet ordre peut alors 

 être fractionnaire '). 



x ) C'est ce qu'on peut prouver comme suit. Posons /' (y) = v et f {2I/ 1 — 1) 

 = w ; alors 



<p(y,v) = 0, 

 4>(2i/ 2 -l,u>) = 0, 



où <p (j/, v) est une fonction rationelle et entière de y et v. Si l'on élimine les 

 grandeurs v et w entre ces équations et 



F—v — y w , 



où F — f(y) — y f(2y 2 — 1), ce qui peut se faire par des opérations rationnelles, 

 on arrive à une équation de la forme 



*(2/,F) = 0, 



où 4> est également une fonction rationnelle et entière. Lorsque y tend vers 1, 



