CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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§ 9. Erreur d'une expression approximative d'un certain ordre. 



48. Rapport limite de l'erreur. Nous entendons par erreur d'une 

 expr. appr. 



la quantité dont il faut V augmenter pour obtenir la circonférence 

 de. cercle; de sorte que: 



F se rapproche de 0. Or, il résulte des recherches de Puiseux que Ton peut 

 toujours déterminer un nombre m, positif et rationnel (entier ou fractionnaire), 

 F 



tel que ^ — fournisse pour y = 1 une limite finie et différente de C. 



de 



Dans l'expr. appr. p 2n \y — -, traitée au § 3, n°. 16, f (y) = \/—, 



Pu v y 



sorte que l'on doit éliminer v et w de v 3 y = 1, iv 3 (2y 2 — 1) = 1 et F = v — y w. 

 On trouve ainsi: 



[F 3 y {2f - 1) + (1 - iff] 3 + 27 F 3 y 5 (2y* - iy = 0, 



F .4 

 d'où l'on déduit aisément que -7- - T a pour limite — — . L'expr. anpr. est 



(1— y) 3 



donc du second ordre. 



Mais ce résultat peut s'obtenir plus simplement comme suit: 



f(!/) _^ (V _ 1)= ^L_^_T_ = 



y %y — 1 



-(i-î/T 



d'où: 



(2y 2 - 1) + y Vy % (V - l) 2 + y 3 Wy* - 1 



r(y) -y/W-i) = 

 (i + m' 1 



(2t/ - l)\y y + y y* (2if - lf+ y 3 lK 2y* - 1 ' 



Pour des valeurs de y comprises entre \ V 2 et 1 ceci est donc toujours né- 

 gatif, de sorte que l'expr. appr. est une limite supérieure monotone permanente 

 du second ordre. 



