CIRCONFÉRENCE BU CERCLE. 



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(PSn —Pin)» 1 G ^ )m -1 <A ~/t < fen — i>4n) m ^ 



etc. 



Par addition on en déduit, eu égard à (95) : 



où 



5= (frn — jP2n)' m + —Pkn) m + &»l6n ~ J?8n) m + . ■ • (98) 



Tl s'ensuit en outre : 



n— ce # (2?r) 



(99) 



de sorte qu'il ne reste plus qu'à déterminer S. 



Afin de trouver pour S un rapport limite, nous tirons ja n de l 1 équation 

 (7) de Gregory : 



Pin (2 ^2n 2 — Pin 2 } 



Pn ~ ' ^ ' 



Pin 



d'où : 



2 /?2n (^4n + p2n) , s 



j»2« — = ô Vpin — Pin), 



Pin 



ou : 



Pin 1 



Il s'ensuit : 



P* — P* > i Um»*-1»"^\*). (101) 



^2» Pn n=œP2n—Pn 



J ) On peut aussi en donner aisément une preuve goniométrique, en posant 

 p ti)i = 8 n si» « , p 2n = 4 n sin 2a , p ;) = 2 n sin 4a, 



où « = -p-. On trouve alors: 

 4m 



i J 4/' P2n 8nsm«(l — cas oc) 1 — 



2j. ;)( — p 4nsm2«(l — cos 2a) cos a (1 — ros 2 a) 4 cos a cos ^a' 



d'où (101) résulte immédiatement. 



Ainsi qu'il en a été fait la remarque au § 8, n°. 42, p, in — p. hl >» \ {P2n~~ 

 P H ) n'est autre chose que le Theor. I de Huygens réduit à des périmètres. 



