CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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49. Autre définition de l'ordre. La dernière équation donne encore 

 à l'ordre d'une expr. appr. la signification suivante: 



V ordre d'une expr. appr. p?n f Ç^J es ^ ^ ex posant de la puissance 



de p-2n — pn, 2 )ar laquelle il faut diviser V erreur de celte expression pour 

 que la valeur limite du quotient soit finie et différente de zéro; cette 

 valeur limite est alors fournie par l'équation (105). 



Il est clair que c'est à cette propriété que la notion & ordre d'une expr. 

 appr. doit sa signification. Toutefois , nous n'avons pas voulu prendre cette 

 propriété comme définition de Tordre, parce qu'elle ne se prête pas direc- 

 tement à la recherche de l'existence d'un ordre. C'est ainsi qu'elle ne permet 

 pas de montrer directement que toute expr. appr. rationnelle a un ordre 

 et que cet ordre est un nombre entier *). Il faudrait pour cela commencer 

 par déduire de la nouvelle définition de l'ordre celle qui a été donnée au 

 § 8, n°. 39 , et qui maintenant constituerait une propriété de l'ordre 2 ). 



x ) Cela résulte toutefois directement du développement en série (71), trouvé 

 au §7, n°. 35, et que nous pouvons écrire: 



4* = r2n + C * (P2n—Pn) + C 2 + C 3 — + . . . . 



P2n P2n 

 f Pn\ 



Car, si /"est une fonction rationnelle, p 2n f ( — ) peut également être dévê- 

 ts P2rc/ 



loppé en une pareille série, ce qui donne: 



**" f ( jr ) = P2n + °i (P2n—Pn) + D > ~ + D * ~^T^ + • • • • 



\P2n/ P2n P2n 



Si D t = A , D t = C 2 , . , . . , = C m _j , mais D m j£ C m , on a : 



Um \P2nS = Cm — Dm 



(P2n — Pn) m ~ (St)'"- 1 ' 

 En même temps il résulte de là, par comparaison avec l'équation (105), que 

 V ordre n'est autre chose que V indice du premier coefficient non identique dans 

 les deux séries, et en outre que 



f TV 



Cm — D m - ^re- 

 considéré ainsi, le fait qu'une expr. appr. rationelle a un ordre et que cet 

 ordre est entier est donc une conséquence directe de ce que 2tt est développable 

 en une série de puissances croissantes de p 2n — p n , à exposants entiers. 



*) Il résulte des développements précédents que, s'il y a un ordre m d'après 

 la nouvelle définition, Tordre d'après l'ancienne définition (s'il existe) doit être 

 égal à m. Mais il se pourrait qu'il n'y eût pas d'ordre d'après l'ancienne définition , 

 et c'est l'impossibilité de cette circonstance qui doit encore être démontrée. 



