CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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D\P2n,Pn) 



ou N ei D sont des fonctions rationnelles de p-i n et p n , entières et homo- 

 gènes, il ayant pas de facteur commun, non divisibles par p% n — p n le 

 degré g de Vexpr. appr. est égal au degré de N , et celui de D est égal à 

 g — 1. Si Von met Vexpr. appr. sotis la fonne (113), où T 0 et 2\ sont des 



fonctions de^- , rationnelles et entières, ri ayant aucun facteur commun, 

 Pin 



de degrés t 0 et t x , le degré g de Vexpr. appr. est le plus grand des deux 

 nombres t 0 et t x -f- 1. 



Alors que V ordre de l'expr. appr. détermine sa précision , son degré 

 décide de sa facilité de calcul, c. à d. de l'étendue des calculs à faire 

 pour obtenir la valeur numérique de l'expr. appr. 



54. Développement en fraction continue. Pour développer l'expr. 

 appr. (114) en fraction continue, nous allons remplacer^ par p2 n — {pin — 

 p n ), ce qui transforme N et D en des fonctions rationnelles , entières et 

 homogènes, de p> n etp2n — Pn (respectivement de degrés g et g — 1). On 

 applique maintenant F algorithme pour la détermination du plus grand 

 commun diviseur de N et J) (qui est une constante, conformément à 

 notre hypothèse) et en effectuant les divisions on ordonne suivant des 

 puissances décroissantes dejî?2n- On commence donc par effectuer la divi- 

 sion N: D. Cette division peut être poursuivie jusqu'à ce que le degré en 

 pin du reste est devenu plus petit que ledegréenj^2n de D, donc au plus et 

 en général égal à g — 2. Comme le reste est, par rapport hp^n ^P2n — Pn\ 

 de degré^ , ce reste est divisible par une puissance de^2n — Pn •> dont l'expo- 

 sant est au moins et en général égal à 2. Ce reste peut donc être représenté 

 par (p>„ — p,,) i + Ci2 jR x , où B x n'est plus divisible parj^n — pn et & t au 

 moins et en général égal à 1. Comme résultat de la division on a donc: 



où le quotient Q { est de degré 1, tandis que le degré de R { est égal à 

 g — 1 — 



La division suivante D : R x peut se poursuivre jusqu'à ce que le degré 



l ) Comme les fonctions N et D n'ont aucun facteur commun , elles ne contien- 

 nent pas en particulier le facteur commun p 2n — p n . Si l'une des deux contenait 

 le facteur p 2n ■ — p n , l'expr. appr. deviendrait égale à 0 ou co pour n = co, 

 ce qui n'est pas le cas. 



