70 



F. SCHUH. 



en j&2n du reste est devenu plus petit que le degré en p2n de R l} donc 

 au plus et en général égal à g — 2 — # 2 . Comme le reste est de degré 

 g — 1 enp2n et p_ n — p n ensemble, ce reste est divisible par une puis- 

 sance de p-in — p,x , dont l'exposant est au moins et en général égal à 

 # 2 -)-l. On obtient donc : 



D=Q 2 R 1 + {p 2 n — Pn] 



R 2 , 



où Q 2 est de degré <z 2 , R 2 non divisible par p% n — Pn et de degré 



a,,, et z 3 au moins et en général égal à 1. 



Continuant ainsi on obtient le système suivant d'équations 



N — Q x D 

 7) = Q 2 R x 

 R x = Q 3 R 2 



+ U>2n — pn) A " 

 + (P2n — Pn) *> + R 2 

 + {p2n~Pn) 



Ri-b = Q;-2^i-3+ {pin 

 Ri— 3 = Qi-i Ri— 2 -f" [p-2n 

 Ri— 2 = Qi Ri—1 



p n ) "i-ï + "*-4 R 



i + jB 



(115; 



Les quotients Q t , Q 2 , Q 3 , , Q,- sont respectivement de degrés 



# 2J , où # 2J # 3J , , Mi sont au moins et en général 



égaux à 1. En outre R 1} R 2 , R 3 , , Ri—i ne sont pas divisibles 



par p2n — Pn et respectivement de degrés g — 1 — x 2 , g — 1 — x 2 — z 3 , 



g — 1 — x 2 — # 3 — <z i} , g — 1 — x 2 — #3 — . . . . . — ai. Comme 



N, D, R^ , R 2 , , R t — 2 ne sont pas divisibles par p2n — Pm les 



quotients Q 1} Q 2 , Q 3 , Q i} , Qi ne le sont pas non plus. 



Les degrés de R x , R 2 , R 3 , etc. deviennent de plus en plus petits de 

 sorte que le degré devient enfin égal à zéro; supposons que tel soit le 

 cas pour R t -\. Grâce à cette circonstance la division Ri— 2: Ri-\ s'effec- 

 tue exactement et l'algorithme se termine. La division ne peut pas 

 s'arrêter avant, sans quoi N et D auraient un plus grand commun 

 diviseur qui ne serait pas constant. Comme le degré de Ri—\ est aussi 

 égal h g — 1 — oc 2 — # 3 — — &\ } on a: 



g— 1 — ql 2 — x ?> — —œ L = Q, 



donc : 



^=1 f x, (116) 



Tl résulte maintenant des équations (115) que: 



