74 



F. SCHUH. 



\Q 1 ,Q 1 ,...,Q j - 1 ,Q j \, (120) 

 \Q i ,Q 1 ,...,Q j - U Û' i \, (121) 



où le dénominateur correspondant à (pi n - — p n ) a * ~ i ~ r ° Cj dans la première 

 expr. appr. est représenté par Qj, et dans T autre par Q ' ] *). Or, on peut 

 voir immédiatement laquelle des deux expressions Qj et Q'j est la plus 

 grande à la longue, et Ton montre aisément que (120) est à la longue 

 plus grand ou plus petit que (121) suivant que ( — iy _ 1 Qj est à la longue 

 plus grand ou plus petit que ( — iy _ 1 Q'j. 



Non seulement on peut reconnaître laquelle des deux expr. appr. est 

 la plus grande, mais on peut encore déduire aisément de la forme de 

 fraction continue la puissance de p in — p n par laquelle la différence 

 des deux expressions est divisible et quelle est la valeur limite du 

 quotient; ceci est très important pour l'examen de Tordre des expr. appr. 

 et pour la formation d'expr. appr. d'ordres de plus en plus élevés. 

 Tout ceci sera traité en détail aux §§ 13 — 17. 



57. Les expressions approximatives de Huygens mises sous forme 

 de fraction continue. Nous réduirons encore en fraction continue les 

 expr. appr. rationnelles de Huygens, dont il a été question au § 3. Les 

 expr. appr. rationnelles de second ordre, dans Tordre où elles se trouvent 

 dans (18), deviennent ainsi: 



Pin + | {pin —Pa)= | p-2n + i (pin — Pn) \ (Theor. VII), 



3ff2n 2 , 1( v . (pin—pn) 2 



ô î =p2n + i (P2n Pn) + ~k T^~" = 



%P2n +Pn . ®P*n + 3p n 



= | P2n + i (P2n—Pn), ^2n + fyn \ (Theor. XIII), 



Plnjpîn + tyn) ^ , \ , , (pin —pn ? 



3^ T + i ^ ~^ + — Sp^- = 



= | P2n + i (P2n ~ Pn), tyn \ (TheOT. IX), 



%P2n 2 +pn 2 , w , . %{pm —Pnf 



. 3p n + * + Sp n = 



= \jP2n + h (**. -Pn), iPn | (Theor. VIII). 



x ) Si i = 7, Qj est identique à Q/, donc une fonction rationnelle entière. 

 Mais si Qj a la forme d'une fraction continue, savoir: 



Q = Qf + — X 



•'" + ■ aPzn-Pnf*-^ 



