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Remarquons encore que toutes ces expr. appr. sont normales, c. à d. 

 que leurs fonctions indicatrices sont linéaires. 



§ 11. Expressions approximatives rationnelles, qui peuvent être 

 reduites à l'aide de l'équation de gregory. 



58. Influence de la transformation sur la précision. Si dans une 

 expr. appr. rationnelle^» ne figure qu'àdes puissances paires, cette expres- 

 sion peut être améliorée par application de l'équation (7) de Gregory. 



Dans ce cas, en effet, Y expr. est de la forme. 



où <p est une fonction rationnelle. Or, cette expr. appr. peut être rendue 

 plus exacte en remplaçant n par %n } donc en écrivant : 



Et de cette expression on peut faire disparaître p^ n en appliquant 

 l'équation (7), donc en remplaçant ^— par — — . L'expr. appr. 



p-2n P2n+Pn 



devient ainsi : 



^ ) (123) 



et est donc restée rationnelle. 



Au point de vue de la facilité des opérations ce procédé n'équivaut 

 évidemment pas au calcul de p>+ n , donc au calcul du périmètre d'un 

 polygone ayant un nombre de côtés deux fois plus grand, puisque^» 

 n'a pas besoin d'être calculé, mais a simplement été introduit tempo- 

 rairement pour déduire une autre/ expr. appr. plus exacte, qui contient 

 comme la précédente pi n et p n . 



La nouvelle expr. appr., appliquée à p a et j!?2n, donne le même résultat 

 que l'expression primitive, appliquée à pi n etp^n- Or nous avons vu au 

 § 9, n°. 50, que si l'expr. appr. est du m me ordre l'erreur devient 

 environ 4 m fois plus faible lorsqu'on remplace n par %n. Nous trouvons 

 ainsi: 



Si une expr. appr. est une fontion rationnelle de pi n l et p n , donc de la 

 forme (122), où Cp est une fonction rationnelle, cette expression peut être 

 remplacée par l'expr. appr. (123), plus exacte. Au point de vue de la 

 précision cela a le même effet que si Von conservait Vexpr. appr. primi- 



