CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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où N et I) sont des fonctions rationnelles et entières , ne contient que des 

 puissances paires de pin, l& transformation à V aide de V équation de 

 Gregory donne, si D [pin, pn) ne contient pas de facteur p-2n 2 , une expr. 

 apjpr. de degré \ g -\- 1 ou \ {g + 1)? suivant que g est pair ou impair. 

 Mais si D (p* n , p n ) contient le fauteur p?n 2 , le degré de V expression trans- 

 formée devient \ g ou \ {g — 1) , suivant que g est pair ou impair. 



60. Abaissement du degré par suite de la transformation. Pour 

 qu'une expr. appr. puisse être transformée, c. à d. pour qu'elle ne contienne 

 que des puissances paires de p^ n , il est nécessaire que son degré g soit 

 au moins égal à 2 (sauf dans le cas trivial où l'expression primitive 

 est pu, en quel cas l'expression transformée est p-zn)- Or si g est impair, 

 donc an moins égal à 3 , on a ^ {g -f- 1) <C g- Si g est pair et au moins 

 égal à 4, on a \ g + 1 <^ g. Mais, si g — 2 , on a \ g -\- 1 = g , et 

 dans ce cas l'abaissement de degré grâce à la divisibilité de D (p 2 n, p n ) 

 par pzn' 1 est impossible, puisque D est de degré 1. 11 en résulte : 



Lorsqu'une expr. appr. est transformable a V aide de Véquation de 

 Gregory, V expression transformée est de degré plus bas, donc plus 

 simple que V expression primitive , sauf dans le cas où le degré de Vexpr. 

 appr. primitive est 2, en quel cas le degré de la nouvelle expr. appr. est 

 nt 2. 



61. Application à la limite supérieure d'Archimède. Déjà dans la 



méthode d' Archimede , où 2 tt est enfermé entre les limites p ln et P^, = 

 2 



on a dans la limite supérieure une expr. appr. qui est transformable 



Pn 



par l'équation de Gregory. Le résultat de cette transformation est 

 — , une expression qui est tout aussi facile à calculer que^-. 



P2n+Pn Pn 

 P2n 2 • 1 



Comme — est une expr. appr. du premier ordre (en effet, f(x) = -, 



Pn X 



donc f\y) — y f(Zy 2 — 1) — — ^ (./^2^~^ ~' ce c i u i n ' est divi- 

 sible que par la première puissance de 1 — y), l'erreur de Fexpr. appr. 

 transformée est, d'après le n°. 58, environ 4 fois plus petite que celle 

 de l'expression ivrimitive 1 ). 



*) C'est ce que l'on peut trouver aussi en mettant les deux limites supé- 

 rieures sous la forme (117), ce qui les transforme en 



