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F. SCHUU 



Nous trouvons ainsi : 

 Les limites p' Archimède 



Pn 



peuvent être avantageusement remplacées par 



2 m 2 



Pin + 



ce qui rend l'erreur dans la limite supérieure environ 4 fois plus faible. 



On voit par là que dans la méthode d' Archimèdk il est avantageux 

 de prendre les polygones circonscrits avec deux fois plus de côtes que 

 les polygones inscrits, du moins lorsqu'on considère les périmètres. Si, 

 au contraire, on considère les surfaces (en quel cas p ln et P^ n sont 

 remplacés respectivement par s 4n et S in ) , il est recommandable de 

 prendre les deux espèces de polygones avec le même nombre de côtés. 



62. Procède d'Archimède. Dans son calcul de la circonférence du 

 cercle Archimède opère sur des périmètres et se sert de polygones inscrits 

 et circonscrits ayant le même nombre de côtés (notamment 96). Mais 

 la remarque faite au n°. 61 ne s'applique pas à la façon dont Archimède 

 opère dans son travail Dimensio circuli, parce qu'il ne déduit pas les 

 périmètres des polygones circonscrits de ceux des polygones inscrits, 

 mais qu'il les calcule indépendamment les uns des autres 1 ). 



Pour les polygones circonscrits ses calculs reviennent à appliquer la 



— = P2n + <>2n ~ Pn) + " 1 



"n Pn 



2 P2n , 1, , . (P2n—P n y 



Hn + ^\P2n — Pn) + 



P2n + Pn m 2V ln ■ nP2g + Pn) 



Comparant ceci avec le développement en série (71) du § 7, n°. 35, on 

 trouve que les erreurs de ces expr. appr. sont respectivement égales à peu près 



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à — ^viP-zn — Pn) et ~~r~(P2n — Pn)' Ainsi donc, tandis que la limite supé- 



rieure primitive est moitié moins précise que la limite inférieure j9 2) ? i ^ a limite 

 supérieure transformée est deux fois plus précise que la limite inférieure. 



') Cependant les calculs d' Archimède se seraient simplifiés, s'il avait fait 

 usage de la relation qui existe entre les périmètres des polygones inscrits et 

 circonscrits. 



